Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-27+x^3)/(-3+x)
-
Límite de (-6+x+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Límite de tan(5*x)/x
-
Expresiones idénticas
- (x-sqrt(dos +x))/(- cuatro +x^ dos)
- (x menos raíz cuadrada de (2 más x)) dividir por ( menos 4 más x al cuadrado )
- (x menos raíz cuadrada de (dos más x)) dividir por ( menos cuatro más x en el grado dos)
- (x-√(2+x))/(-4+x^2)
- (x-sqrt(2+x))/(-4+x2)
- x-sqrt2+x/-4+x2
- (x-sqrt(2+x))/(-4+x²)
- (x-sqrt(2+x))/(-4+x en el grado 2)
- x-sqrt2+x/-4+x^2
- (x-sqrt(2+x)) dividir por (-4+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (x+sqrt(2+x))/(-4+x^2)
- (x-sqrt(2+x))/(4+x^2)
- (x-sqrt(2-x))/(-4+x^2)
- (x-sqrt(2+x))/(-4-x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x)-sqrt(x)
- sqrt(1+3*x)-sqrt(2+x)
- sqrt(a+x)-sqrt(x)
- sqrt(tan(x))/x
- sqrt(x+x^2)-sqrt(x^2-x)
Límite de la función (x-sqrt(2+x))/(-4+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______\
|x - \/ 2 + x |
lim |-------------|
x->2+| 2 |
\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
Limit((x - sqrt(2 + x))/(-4 + x^2), x, 2)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- x - \sqrt{x + 2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4} \left(- x - \sqrt{x + 2}\right)}{- x - \sqrt{x + 2}}$$
=
$$\frac{- x^{2} + x + 2}{\left(- x - \sqrt{x + 2}\right) \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}$$
=
$$- \frac{x + 1}{\left(- x - \sqrt{x + 2}\right) \left(x + 2\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{x + 1}{\left(- x - \sqrt{x + 2}\right) \left(x + 2\right)}\right)$$
=
$$\frac{3}{16}$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- x - \sqrt{x + 2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4} \left(- x - \sqrt{x + 2}\right)}{- x - \sqrt{x + 2}}$$
=
$$\frac{- x^{2} + x + 2}{\left(- x - \sqrt{x + 2}\right) \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}$$
=
$$- \frac{x + 1}{\left(- x - \sqrt{x + 2}\right) \left(x + 2\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{x + 1}{\left(- x - \sqrt{x + 2}\right) \left(x + 2\right)}\right)$$
=
$$\frac{3}{16}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x - \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \sqrt{x + 2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1 - \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8 \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8 \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\frac{3}{16}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x - \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \sqrt{x + 2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1 - \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8 \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8 \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\frac{3}{16}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ _______\
|x - \/ 2 + x |
lim |-------------|
x->2+| 2 |
\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
3/16
$$\frac{3}{16}$$
= 0.1875
/ _______\
|x - \/ 2 + x |
lim |-------------|
x->2-| 2 |
\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
3/16
$$\frac{3}{16}$$
= 0.1875
= 0.1875
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{3}{16}$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{3}{16}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{3}{16}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico