Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +x^ dos)/(dos -sqrt(cinco +x))
- ( menos 1 más x al cuadrado ) dividir por (2 menos raíz cuadrada de (5 más x))
- ( menos uno más x en el grado dos) dividir por (dos menos raíz cuadrada de (cinco más x))
- (-1+x^2)/(2-√(5+x))
- (-1+x2)/(2-sqrt(5+x))
- -1+x2/2-sqrt5+x
- (-1+x²)/(2-sqrt(5+x))
- (-1+x en el grado 2)/(2-sqrt(5+x))
- -1+x^2/2-sqrt5+x
- (-1+x^2) dividir por (2-sqrt(5+x))
-
Expresiones semejantes
- (-1-x^2)/(2-sqrt(5+x))
- (-1+x^2)/(2-sqrt(5-x))
- (-1+x^2)/(2+sqrt(5+x))
- (1+x^2)/(2-sqrt(5+x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)-x
- sqrt(x^2-x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
Límite de la función (-1+x^2)/(2-sqrt(5+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -1 + x |
lim |-------------|
x->-1+| _______|
\2 - \/ 5 + x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right)$$
Limit((-1 + x^2)/(2 - sqrt(5 + x)), x, -1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x + 5} + 2$$
obtendremos
$$\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)}{\left(2 - \sqrt{x + 5}\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)}$$
=
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)}{- x - 1}$$
=
$$- \left(x - 1\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \left(x - 1\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)\right)$$
=
$$8$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x + 5} + 2$$
obtendremos
$$\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)}{\left(2 - \sqrt{x + 5}\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)}$$
=
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)}{- x - 1}$$
=
$$- \left(x - 1\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \left(x - 1\right) \left(\sqrt{x + 5} + 2\right)\right)$$
=
$$8$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 - \sqrt{x + 5}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 - \sqrt{x + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- 4 x \sqrt{x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} 8$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} 8$$
=
$$8$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 - \sqrt{x + 5}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 - \sqrt{x + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- 4 x \sqrt{x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} 8$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} 8$$
=
$$8$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -1 + x |
lim |-------------|
x->-1+| _______|
\2 - \/ 5 + x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right)$$
8
$$8$$
= 8
/ 2 \
| -1 + x |
lim |-------------|
x->-1-| _______|
\2 - \/ 5 + x /
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right)$$
8
$$8$$
= 8
= 8
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = 8$$
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = 8$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = \frac{1}{-2 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = \frac{1}{-2 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = 8$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = \frac{1}{-2 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = \frac{1}{-2 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 - \sqrt{x + 5}}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo