Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 \tan^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3 \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3 \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} 3 \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{3 \sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)