Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{\sqrt[3]{5 x + 1} - 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \left(\sqrt[3]{5 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \left(\sqrt[3]{5 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{\sqrt[3]{5 x + 1} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{9 x^{2} \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{6}} \left(\sqrt[3]{5 x + 1} - 1\right)} + \frac{10 x \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{\left(5 x^{2} + 1\right) \left(\sqrt[3]{5 x + 1} - 1\right)} - \frac{5 \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{3 \left(5 x + 1\right)^{\frac{2}{3}} \left(\sqrt[3]{5 x + 1} - 1\right)^{2}}}{6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{9 x^{2} \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{6}} \sqrt[3]{5 x + 1} - \sqrt{1 - 9 x^{6}}} + \frac{10 x \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{5 x^{2} \sqrt[3]{5 x + 1} - 5 x^{2} + \sqrt[3]{5 x + 1} - 1} - \frac{5 \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{15 x \sqrt[3]{5 x + 1} - 30 x + 3 \left(5 x + 1\right)^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[3]{5 x + 1} - 6}}{6 \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{9 x^{2} \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{6}} \sqrt[3]{5 x + 1} - \sqrt{1 - 9 x^{6}}} + \frac{10 x \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{5 x^{2} \sqrt[3]{5 x + 1} - 5 x^{2} + \sqrt[3]{5 x + 1} - 1} - \frac{5 \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x^{3} \right)}}{15 x \sqrt[3]{5 x + 1} - 30 x + 3 \left(5 x + 1\right)^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[3]{5 x + 1} - 6}}{6 \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)