Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{16 - 3 x} - 4\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{16 - 3 x} - 4}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{16 - 3 x} - 4\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3}{2 \sqrt{16 - 3 x} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3}{8 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3}{8 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{3}{8}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)