Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)