Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de x^2*log(x)
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Expresiones idénticas
- sinh(z)/(z*(- uno +e^z))
- seno hiperbólico de (z) dividir por (z multiplicar por ( menos 1 más e en el grado z))
- seno hiperbólico de (z) dividir por (z multiplicar por ( menos uno más e en el grado z))
- sinh(z)/(z*(-1+ez))
- sinhz/z*-1+ez
- sinh(z)/(z(-1+e^z))
- sinh(z)/(z(-1+ez))
- sinhz/z-1+ez
- sinhz/z-1+e^z
- sinh(z) dividir por (z*(-1+e^z))
-
Expresiones semejantes
- sinh(z)/(z*(-1-e^z))
- sinh(z)/(z*(1+e^z))
-
Expresiones con funciones
- Seno hiperbólico sinh
- sinh(pi*z)/(16+z^4+8*z^2)
- sinh(x)/(x^2*(x+pi*i))
- sinh(x)^2/x^2
- sinh(1/x)/log(log(x/(1+x^4)))^2
- sinh(z)
Límite de la función sinh(z)/(z*(-1+e^z))
Solución
Ha introducido
[src]
/ sinh(z) \
lim |-----------|
z->oo| / z\|
\z*\-1 + E //
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right)$$
Limit(sinh(z)/((z*(-1 + E^z))), z, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to \infty}\left(e^{z} - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d z} \frac{\sinh{\left(z \right)}}{z}}{\frac{d}{d z} \left(e^{z} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to \infty}\left(\left(\frac{\cosh{\left(z \right)}}{z} - \frac{\sinh{\left(z \right)}}{z^{2}}\right) e^{- z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to \infty}\left(\left(\frac{\cosh{\left(z \right)}}{z} - \frac{\sinh{\left(z \right)}}{z^{2}}\right) e^{- z}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to \infty}\left(e^{z} - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d z} \frac{\sinh{\left(z \right)}}{z}}{\frac{d}{d z} \left(e^{z} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to \infty}\left(\left(\frac{\cosh{\left(z \right)}}{z} - \frac{\sinh{\left(z \right)}}{z^{2}}\right) e^{- z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to \infty}\left(\left(\frac{\cosh{\left(z \right)}}{z} - \frac{\sinh{\left(z \right)}}{z^{2}}\right) e^{- z}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con z→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con z→0 a la derecha
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = \frac{1 + e}{2 e}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = \frac{1 + e}{2 e}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→-oo
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con z→0 a la derecha
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = \frac{1 + e}{2 e}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = \frac{1 + e}{2 e}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sinh{\left(z \right)}}{z \left(e^{z} - 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→-oo