Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de x^2*log(x)
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Expresiones idénticas
- sinh(pi*z)/(dieciséis +z^ cuatro + ocho *z^ dos)
- seno hiperbólico de ( número pi multiplicar por z) dividir por (16 más z en el grado 4 más 8 multiplicar por z al cuadrado )
- seno hiperbólico de ( número pi multiplicar por z) dividir por (dieciséis más z en el grado cuatro más ocho multiplicar por z en el grado dos)
- sinh(pi*z)/(16+z4+8*z2)
- sinhpi*z/16+z4+8*z2
- sinh(pi*z)/(16+z⁴+8*z²)
- sinh(pi*z)/(16+z en el grado 4+8*z en el grado 2)
- sinh(piz)/(16+z^4+8z^2)
- sinh(piz)/(16+z4+8z2)
- sinhpiz/16+z4+8z2
- sinhpiz/16+z^4+8z^2
- sinh(pi*z) dividir por (16+z^4+8*z^2)
-
Expresiones semejantes
- sinh(pi*z)/(16+z^4-8*z^2)
- sinh(pi*z)/(16-z^4+8*z^2)
-
Expresiones con funciones
- Seno hiperbólico sinh
- sinh(x)/(x^2*(x+pi*i))
- sinh(z)/(z*(-1+e^z))
- sinh(x)^2/x^2
- sinh(1/x)/log(log(x/(1+x^4)))^2
- sinh(z)
- Número Pi pi
- pi/2
- pi/(2*x)
- pi/(x*cot(5*x/2))
- Piecewise((1+5*x,x>=1),(-2+x^2,True))
- Piecewise((4+x,x<-1),(2+x^2,x<=1),(2*x,x>=1))
Límite de la función sinh(pi*z)/(16+z^4+8*z^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ sinh(pi*z) \
lim |--------------|
z->-2*I+| 4 2|
\16 + z + 8*z /
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right)$$
Limit(sinh(pi*z)/(16 + z^4 + 8*z^2), z, -2*i)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to - 2 i^+} \sinh{\left(\pi z \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(z^{4} + 8 z^{2} + 16\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{z^{4} + 8 z^{2} + 16}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \sinh{\left(\pi z \right)}}{\frac{d}{d z} \left(z^{4} + 8 z^{2} + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\pi \cosh{\left(\pi z \right)}}{4 z^{3} + 16 z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\pi}{4 z^{3} + 16 z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\pi}{4 z^{3} + 16 z}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to - 2 i^+} \sinh{\left(\pi z \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(z^{4} + 8 z^{2} + 16\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{z^{4} + 8 z^{2} + 16}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \sinh{\left(\pi z \right)}}{\frac{d}{d z} \left(z^{4} + 8 z^{2} + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\pi \cosh{\left(\pi z \right)}}{4 z^{3} + 16 z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\pi}{4 z^{3} + 16 z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\pi}{4 z^{3} + 16 z}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ sinh(pi*z) \
lim |--------------|
z->-2*I+| 4 2|
\16 + z + 8*z /
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right)$$
-oo
$$-\infty$$
/ sinh(pi*z) \
lim |--------------|
z->-2*I-| 4 2|
\16 + z + 8*z /
$$\lim_{z \to - 2 i^-}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right)$$
oo
$$\infty$$
oo
Otros límites con z→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{z \to - 2 i^-}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→-2*i a la izquierda
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = 0$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = 0$$
Más detalles con z→0 a la derecha
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = \frac{-1 + e^{2 \pi}}{50 e^{\pi}}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = \frac{-1 + e^{2 \pi}}{50 e^{\pi}}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→-oo
Más detalles con z→-2*i a la izquierda
$$\lim_{z \to - 2 i^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = 0$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = 0$$
Más detalles con z→0 a la derecha
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = \frac{-1 + e^{2 \pi}}{50 e^{\pi}}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = \frac{-1 + e^{2 \pi}}{50 e^{\pi}}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sinh{\left(\pi z \right)}}{8 z^{2} + \left(z^{4} + 16\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→-oo