Sr Examen

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(-sin(x)+tan(x))/sin(x)^3
Límite de la función/ sin(x)/ tan(x)/ (-sin(x)+tan(x))/sin(x)^3

Límite de la función (-sin(x)+tan(x))/sin(x)^3

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /-sin(x) + tan(x)\
 lim |----------------|
x->0+|       3        |
     \    sin (x)     /
lim⁡x→0+(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) 
Limit((-sin(x) + tan(x))/sin(x)^3, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(−sin⁡(x)+tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+sin⁡3(x)=0\lim_{x \to 0^+} \sin^{3}{\left(x \right)} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−sin⁡(x)+tan⁡(x))ddxsin⁡3(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin^{3}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+13sin⁡2(x)cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+13sin⁡2(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+1)ddx3sin⁡2(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 3 \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+((2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)+sin⁡(x)6sin⁡(x)cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)+2tan⁡3(x)+2tan⁡(x)6sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 2 \tan^{3}{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}}{6 \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(sin⁡(x)+2tan⁡3(x)+2tan⁡(x))ddx6sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \tan^{3}{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 6 \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(2(3tan⁡2(x)+3)tan⁡2(x)+cos⁡(x)+2tan⁡2(x)+26cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2}{6 \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(cos⁡(x)6+tan⁡4(x)+4tan⁡2(x)3+13)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{6} + \tan^{4}{\left(x \right)} + \frac{4 \tan^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right)
=
lim⁡x→0+(cos⁡(x)6+tan⁡4(x)+4tan⁡2(x)3+13)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{6} + \tan^{4}{\left(x \right)} + \frac{4 \tan^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right)
=
12\frac{1}{2}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Construir el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))=12\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{2}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))=12\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{2}
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))=−−tan⁡(1)+sin⁡(1)sin⁡3(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = - \frac{- \tan{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}}{\sin^{3}{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))=−−tan⁡(1)+sin⁡(1)sin⁡3(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = - \frac{- \tan{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}}{\sin^{3}{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /-sin(x) + tan(x)\
 lim |----------------|
x->0+|       3        |
     \    sin (x)     /
lim⁡x→0+(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
     /-sin(x) + tan(x)\
 lim |----------------|
x->0-|       3        |
     \    sin (x)     /
lim⁡x→0−(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡3(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
= 0.5
Respuesta rápida [src] 
1/2
12\frac{1}{2}
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
0.5
0.5
Gráfico
Límite de la función (-sin(x)+tan(x))/sin(x)^3
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