Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ dos)-sqrt(x^ dos -x)
- raíz cuadrada de (x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (x al cuadrado menos x)
- raíz cuadrada de (x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (x en el grado dos menos x)
- √(x^2)-√(x^2-x)
- sqrt(x2)-sqrt(x2-x)
- sqrtx2-sqrtx2-x
- sqrt(x²)-sqrt(x²-x)
- sqrt(x en el grado 2)-sqrt(x en el grado 2-x)
- sqrtx^2-sqrtx^2-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^2)+sqrt(x^2-x)
- sqrt(x^2)-sqrt(x^2+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
Límite de la función sqrt(x^2)-sqrt(x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ x - \/ x - x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
Limit(sqrt(x^2) - sqrt(x^2 - x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) \left(\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2}}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(- x^{2} + x\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} - x}{x^{2}}} + 1}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1 - u} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{1 - 0}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) \left(\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2}}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(- x^{2} + x\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} - x}{x^{2}}} + 1}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1 - u} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{1 - 0}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo