Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2 n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n! = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2 n}}{n!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{2 n}}{\frac{d}{d n} n!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2 n} \left(2 \log{\left(n \right)} + 2\right)}{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2 n} \left(2 \log{\left(n \right)} + 2\right)}{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)