Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+3*x))/(sqrt(x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- dos *x/(ocho + tres *x)-cos(x)/(dos *x)
- 2 multiplicar por x dividir por (8 más 3 multiplicar por x) menos coseno de (x) dividir por (2 multiplicar por x)
- dos multiplicar por x dividir por (ocho más tres multiplicar por x) menos coseno de (x) dividir por (dos multiplicar por x)
- 2x/(8+3x)-cos(x)/(2x)
- 2x/8+3x-cosx/2x
- 2*x dividir por (8+3*x)-cos(x) dividir por (2*x)
-
Expresiones semejantes
- 2*x/(8-3*x)-cos(x)/(2*x)
- 2*x/(8+3*x)+cos(x)/(2*x)
- 2*x/(8+3*x)-cosx/(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)*tan(5*x)/(3*asin(2*x))
- cos(7*x)/(x*tan(x))
- cos(1/(i+x))
- cos(5*p*x)*sin(4*p*x)*tan(3*p*x)/tan(p*x)^2
- cos(x)^(1/log(1+sin(x)^2))
Límite de la función 2*x/(8+3*x)-cos(x)/(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2*x cos(x)\ lim |------- - ------| x->oo\8 + 3*x 2*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
Limit((2*x)/(8 + 3*x) - cos(x)/(2*x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} - 3 x \cos{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x^{2} + 16 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} - \left(3 x + 8\right) \cos{\left(x \right)}}{2 x \left(3 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 3 x \cos{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x^{2} + 16 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x \sin{\left(x \right)} + 8 x + 8 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}}{12 x + 16}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x \sin{\left(x \right)} + 8 x + 8 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{3}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} - 3 x \cos{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x^{2} + 16 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} - \left(3 x + 8\right) \cos{\left(x \right)}}{2 x \left(3 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 3 x \cos{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x^{2} + 16 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x \sin{\left(x \right)} + 8 x + 8 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}}{12 x + 16}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x \sin{\left(x \right)} + 8 x + 8 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{3}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{2}{11} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{2}{11} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{2}{11} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{2}{11} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo