Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} \sin{\left(48 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} \cos{\left(\frac{27 x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{\sin{\left(48 x \right)}}{\cos{\left(\frac{27 x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{\sin{\left(48 x \right)}}{\cos{\left(\frac{27 x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(48 x \right)}}{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{27 x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(- \frac{32 \cos{\left(48 x \right)}}{9 \sin{\left(\frac{27 x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} - \frac{32}{9}$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} - \frac{32}{9}$$
=
$$- \frac{32}{9}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)