Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (x/(6+x))^x
-
Límite de (-2+(8+x)^(1/3))/(-1+sqrt(1+2*x))
-
Límite de (4+x^3+5*x^2+8*x)/(-4+x^3+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (i+z)*sin(uno /z)/(uno +z^ dos)
- (i más z) multiplicar por seno de (1 dividir por z) dividir por (1 más z al cuadrado )
- (i más z) multiplicar por seno de (uno dividir por z) dividir por (uno más z en el grado dos)
- (i+z)*sin(1/z)/(1+z2)
- i+z*sin1/z/1+z2
- (i+z)*sin(1/z)/(1+z²)
- (i+z)*sin(1/z)/(1+z en el grado 2)
- (i+z)sin(1/z)/(1+z^2)
- (i+z)sin(1/z)/(1+z2)
- i+zsin1/z/1+z2
- i+zsin1/z/1+z^2
- (i+z)*sin(1 dividir por z) dividir por (1+z^2)
-
Expresiones semejantes
- (i+z)*sin(1/z)/(1-z^2)
- (i-z)*sin(1/z)/(1+z^2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(15*x)/(5*x)
- sin(x+pi/4)/(pi+4*x)
- sin(-8/7+x/7)*tan(pi*x/16)
- sin(25*x)/log(cos(25*x))
- sin(x)/(4*x*sqrt(cos(x)))
Límite de la función (i+z)*sin(1/z)/(1+z^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /1\\
|(I + z)*sin|-||
| \z/|
lim |--------------|
z->-I+| 2 |
\ 1 + z /
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right)$$
Limit(((i + z)*sin(1/z))/(1 + z^2), z, -i)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to - i^+}\left(z^{2} + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{z} \right)} - \frac{\left(z + i\right) \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2}}}{2 z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{i \left(\sin{\left(\frac{1}{z} \right)} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z} - \frac{i \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2}}\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{i \left(\sin{\left(\frac{1}{z} \right)} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z} - \frac{i \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2}}\right)}{2}\right)$$
=
$$- \frac{e}{4} + \frac{1}{4 e}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to - i^+}\left(z^{2} + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{z} \right)} - \frac{\left(z + i\right) \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2}}}{2 z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{i \left(\sin{\left(\frac{1}{z} \right)} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z} - \frac{i \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2}}\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{i \left(\sin{\left(\frac{1}{z} \right)} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z} - \frac{i \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2}}\right)}{2}\right)$$
=
$$- \frac{e}{4} + \frac{1}{4 e}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con z→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{z \to - i^-}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = - \frac{e}{4} + \frac{1}{4 e}$$
Más detalles con z→-i a la izquierda
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = - \frac{e}{4} + \frac{1}{4 e}$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle i$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle i$$
Más detalles con z→0 a la derecha
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2} + \frac{i \sin{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2} + \frac{i \sin{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→-oo
Más detalles con z→-i a la izquierda
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = - \frac{e}{4} + \frac{1}{4 e}$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle i$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle i$$
Más detalles con z→0 a la derecha
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2} + \frac{i \sin{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2} + \frac{i \sin{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /1\\
|(I + z)*sin|-||
| \z/|
lim |--------------|
z->-I+| 2 |
\ 1 + z /
$$\lim_{z \to - i^+}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right)$$
-1 E e - - + --- 4 4
$$- \frac{e}{4} + \frac{1}{4 e}$$
/ /1\\
|(I + z)*sin|-||
| \z/|
lim |--------------|
z->-I-| 2 |
\ 1 + z /
$$\lim_{z \to - i^-}\left(\frac{\left(z + i\right) \sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z^{2} + 1}\right)$$
-1 E e - - + --- 4 4
$$- \frac{e}{4} + \frac{1}{4 e}$$
-E/4 + exp(-1)/4