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cos(п/4(2n-1))

Suma de la serie cos(п/4(2n-1))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                   
 ___                   
 \  `                  
  \      /pi          \
   )  cos|--*(2*n - 1)|
  /      \4           /
 /__,                  
n = 1                  
$$\sum_{n=1}^{\infty} \cos{\left(\frac{\pi}{4} \left(2 n - 1\right) \right)}$$
Sum(cos((pi/4)*(2*n - 1)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{4} \left(2 n - 1\right) \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} - \frac{1}{4}\right) \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} - \frac{1}{4}\right) \right)}}{\cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{4}\right) \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} - \frac{1}{4}\right) \right)}}{\cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{4}\right) \right)}}}\right|$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                   
 ___                   
 \  `                  
  \      /   /  1   n\\
   )  cos|pi*|- - + -||
  /      \   \  4   2//
 /__,                  
n = 1                  
$$\sum_{n=1}^{\infty} \cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} - \frac{1}{4}\right) \right)}$$
Sum(cos(pi*(-1/4 + n/2)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica
La serie diverge
Gráfico
Suma de la serie cos(п/4(2n-1))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie