Sr Examen

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(1-cos(1/n))^2

Suma de la serie (1-cos(1/n))^2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo               
____               
\   `              
 \                2
  \   /       /1\\ 
  /   |1 - cos|-|| 
 /    \       \n// 
/___,              
n = 1              
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{n} \right)}\right)^{2}$$
Sum((1 - cos(1/n))^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{n} \right)}\right)^{2}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{n} \right)}\right)^{2}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\left(\cos{\left(\frac{1}{n} \right)} - 1\right)^{2} \left|{\frac{1}{\left(\cos{\left(\frac{1}{n + 1} \right)} - 1\right)^{2}}}\right|\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta numérica [src]
0.231192753838863396533715933905
0.231192753838863396533715933905
Gráfico
Suma de la serie (1-cos(1/n))^2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie