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Suma de la serie/ cos(n*x)/(n^2+1)

Suma de la serie cos(n*x)/(n^2+1)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo          
____          
\   `         
 \    cos(n*x)
  \   --------
  /     2     
 /     n  + 1 
/___,         
n = 1
∑n=1∞cos⁡(nx)n2+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos{\left(n x \right)}}{n^{2} + 1} 
Sum(cos(n*x)/(n^2 + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
cos⁡(nx)n2+1\frac{\cos{\left(n x \right)}}{n^{2} + 1}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=cos⁡(nx)n2+1a_{n} = \frac{\cos{\left(n x \right)}}{n^{2} + 1}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(((n+1)2+1)∣cos⁡(nx)cos⁡(x(n+1))∣n2+1)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\left(n + 1\right)^{2} + 1\right) \left|{\frac{\cos{\left(n x \right)}}{\cos{\left(x \left(n + 1\right) \right)}}}\right|}{n^{2} + 1}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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