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Suma de la serie/ x^n/n^2

Suma de la serie x^n/n^2


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo    
____    
\   `   
 \     n
  \   x 
   )  --
  /    2
 /    n 
/___,   
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$$ 
Sum(x^n/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{x^{n}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 1$$
$$R = 1$$
Respuesta [src] 
/polylog(2, x)  for |x| <= 1
|                           
|    oo                     
|  ____                     
|  \   `                    
|   \     n                 
<    \   x                  
|     )  --      otherwise  
|    /    2                 
|   /    n                  
|  /___,                    
|  n = 1                    
\
$$\begin{cases} \operatorname{Li}_{2}\left(x\right) & \text{for}\: \left|{x}\right| \leq 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}} & \text{otherwise} \end{cases}$$ 
Piecewise((polylog(2, x), |x| <= 1), (Sum(x^n/n^2, (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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