Sr Examen

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2(2+cos(πn))/(2(n^3)-1)

Suma de la serie 2(2+cos(πn))/(2(n^3)-1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                   
____                   
\   `                  
 \    2*(2 + cos(pi*n))
  \   -----------------
  /           3        
 /         2*n  - 1    
/___,                  
n = 1                  
n=12(cos(πn)+2)2n31\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \left(\cos{\left(\pi n \right)} + 2\right)}{2 n^{3} - 1}
Sum((2*(2 + cos(pi*n)))/(2*n^3 - 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
2(cos(πn)+2)2n31\frac{2 \left(\cos{\left(\pi n \right)} + 2\right)}{2 n^{3} - 1}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=2cos(πn)+42n31a_{n} = \frac{2 \cos{\left(\pi n \right)} + 4}{2 n^{3} - 1}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((2(n+1)31)2cos(πn)+4(2n31)(2cos(π(n+1))+4))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\left(2 \left(n + 1\right)^{3} - 1\right) \left|{\frac{2 \cos{\left(\pi n \right)} + 4}{\left(2 n^{3} - 1\right) \left(2 \cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)} + 4\right)}}\right|\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=limn((2(n+1)31)2cos(πn)+4(2n31)(2cos(π(n+1))+4))R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\left(2 \left(n + 1\right)^{3} - 1\right) \left|{\frac{2 \cos{\left(\pi n \right)} + 4}{\left(2 n^{3} - 1\right) \left(2 \cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)} + 4\right)}}\right|\right)
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.51.53.0
Respuesta [src]
  oo                 
____                 
\   `                
 \    4 + 2*cos(pi*n)
  \   ---------------
  /              3   
 /       -1 + 2*n    
/___,                
n = 1                
n=12cos(πn)+42n31\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cos{\left(\pi n \right)} + 4}{2 n^{3} - 1}
Sum((4 + 2*cos(pi*n))/(-1 + 2*n^3), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie 2(2+cos(πn))/(2(n^3)-1)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie