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cos(pi*n)/5^n
Suma de la serie/ cos(pi*n)/5^n

Suma de la serie cos(pi*n)/5^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo           
____           
\   `          
 \    cos(pi*n)
  \   ---------
  /        n   
 /        5    
/___,          
n = 1
∑n=1∞cos⁡(πn)5n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{5^{n}} 
Sum(cos(pi*n)/5^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
cos⁡(πn)5n\frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{5^{n}}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=cos⁡(πn)a_{n} = \cos{\left(\pi n \right)}
y
x0=−5x_{0} = -5
,
d=−1d = -1
,
c=0c = 0
entonces
1R=∞~(−5+lim⁡n→∞∣cos⁡(πn)cos⁡(π(n+1))∣)\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(-5 + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{\cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)}}}\right|\right)
Tomamos como el límite
hallamos
1R=∞~(−5+lim⁡n→∞∣cos⁡(πn)cos⁡(π(n+1))∣)\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(-5 + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{\cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)}}}\right|\right)
R=0(−5+lim⁡n→∞∣cos⁡(πn)cos⁡(π(n+1))∣)−1R = 0 \left(-5 + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{\cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)}}}\right|\right)^{-1}
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.5-0.25-0.15
Respuesta [src] 
  oo               
 ___               
 \  `              
  \    -n          
  /   5  *cos(pi*n)
 /__,              
n = 1
∑n=1∞5−ncos⁡(πn)\sum_{n=1}^{\infty} 5^{- n} \cos{\left(\pi n \right)} 
Sum(5^(-n)*cos(pi*n), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src] 
-0.166666666666666666666666666667
-0.166666666666666666666666666667
Gráfico
Suma de la serie cos(pi*n)/5^n

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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