Sr Examen

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sqrt(n+arctgn^2)-sqrt(n)

Suma de la serie sqrt(n+arctgn^2)-sqrt(n)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                             
 ___                             
 \  `                            
  \   /   ______________        \
   )  |  /         2         ___|
  /   \\/  n + atan (n)  - \/ n /
 /__,                            
n = 1                            
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}^{2}{\left(n \right)}}\right)$$
Sum(sqrt(n + atan(n)^2) - sqrt(n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$- \sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}^{2}{\left(n \right)}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = - \sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}^{2}{\left(n \right)}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sqrt{n} - \sqrt{n + \operatorname{atan}^{2}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n + \operatorname{atan}^{2}{\left(n + 1 \right)} + 1}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Gráfico
Suma de la serie sqrt(n+arctgn^2)-sqrt(n)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie