Sr Examen

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Suma de la serie sqrtn(n/(4n-3))^2n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                  
____                  
\   `                 
 \                 4  
  \       /   n   \   
  /   t*n*|-------| *n
 /        \4*n - 3/   
/___,                 
n = 1                 
n=1nnt(n4n3)4\sum_{n=1}^{\infty} n n t \left(\frac{n}{4 n - 3}\right)^{4}
Sum(((t*n)*(n/(4*n - 3))^4)*n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
nnt(n4n3)4n n t \left(\frac{n}{4 n - 3}\right)^{4}
Es la serie del tipo
an(ctt0)dna_{n} \left(c t - t_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=t0+limnanan+1cR^{d} = \frac{t_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=n6t(4n3)4a_{n} = \frac{n^{6} t}{\left(4 n - 3\right)^{4}}
y
t0=0t_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn(n6(4n+1)41(4n3)4(n+1)6)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{6} \left(4 n + 1\right)^{4} \left|{\frac{1}{\left(4 n - 3\right)^{4}}}\right|}{\left(n + 1\right)^{6}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src]
  /     1215*I*polylog(2, I)   729*I*polylog(3, I)   729*I*polylog(4, I)   729*I*polylog(3, -I)   729*I*polylog(4, -I)   1215*I*polylog(2, -I)\
t*|oo - -------------------- - ------------------- - ------------------- + -------------------- + -------------------- + ---------------------|
  \            16384                   8192                 16384                  8192                  16384                   16384        /
t(+1215iLi2(i)16384+729iLi3(i)8192+729iLi4(i)16384729iLi4(i)16384729iLi3(i)81921215iLi2(i)16384)t \left(\infty + \frac{1215 i \operatorname{Li}_{2}\left(- i\right)}{16384} + \frac{729 i \operatorname{Li}_{3}\left(- i\right)}{8192} + \frac{729 i \operatorname{Li}_{4}\left(- i\right)}{16384} - \frac{729 i \operatorname{Li}_{4}\left(i\right)}{16384} - \frac{729 i \operatorname{Li}_{3}\left(i\right)}{8192} - \frac{1215 i \operatorname{Li}_{2}\left(i\right)}{16384}\right)
t*(oo - 1215*i*polylog(2, i)/16384 - 729*i*polylog(3, i)/8192 - 729*i*polylog(4, i)/16384 + 729*i*polylog(3, -i)/8192 + 729*i*polylog(4, -i)/16384 + 1215*i*polylog(2, -i)/16384)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie