Sr Examen

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arctg(5^n)/n!

Suma de la serie arctg(5^n)/n!



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
____          
\   `         
 \        / n\
  \   atan\5 /
  /   --------
 /       n!   
/___,         
n = 1         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(5^{n} \right)}}{n!}$$
Sum(atan(5^n)/factorial(n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(5^{n} \right)}}{n!}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\operatorname{atan}{\left(5^{n} \right)}}{n!}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{\left(n + 1\right)!}{n!}}\right| \operatorname{atan}{\left(5^{n} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(5^{n + 1} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \infty$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta numérica [src]
2.48028315147052347343617310236
2.48028315147052347343617310236
Gráfico
Suma de la serie arctg(5^n)/n!

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie