Sr Examen

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sin^2(n+1)/((n+1)*sqrt(n+1))

Suma de la serie sin^2(n+1)/((n+1)*sqrt(n+1))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                   
____                   
\   `                  
 \          2          
  \      sin (n + 1)   
   )  -----------------
  /             _______
 /    (n + 1)*\/ n + 1 
/___,                  
n = 1                  
n=1sin2(n+1)n+1(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{2}{\left(n + 1 \right)}}{\sqrt{n + 1} \left(n + 1\right)}
Sum(sin(n + 1)^2/(((n + 1)*sqrt(n + 1))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin2(n+1)n+1(n+1)\frac{\sin^{2}{\left(n + 1 \right)}}{\sqrt{n + 1} \left(n + 1\right)}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin2(n+1)(n+1)32a_{n} = \frac{\sin^{2}{\left(n + 1 \right)}}{\left(n + 1\right)^{\frac{3}{2}}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+2)32sin2(n+1)1sin2(n+2)(n+1)32)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{\frac{3}{2}} \sin^{2}{\left(n + 1 \right)} \left|{\frac{1}{\sin^{2}{\left(n + 2 \right)}}}\right|}{\left(n + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=limn((n+2)32sin2(n+1)1sin2(n+2)(n+1)32)R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{\frac{3}{2}} \sin^{2}{\left(n + 1 \right)} \left|{\frac{1}{\sin^{2}{\left(n + 2 \right)}}}\right|}{\left(n + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right)
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.50.250.75
Respuesta [src]
  oo             
____             
\   `            
 \       2       
  \   sin (1 + n)
   )  -----------
  /           3/2
 /     (1 + n)   
/___,            
n = 1            
n=1sin2(n+1)(n+1)32\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{2}{\left(n + 1 \right)}}{\left(n + 1\right)^{\frac{3}{2}}}
Sum(sin(1 + n)^2/(1 + n)^(3/2), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie sin^2(n+1)/((n+1)*sqrt(n+1))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie