Sr Examen

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xsqrt(x^2-1)+ln(x+sqrt(x^2-1))
Derivada de la función/ ln(x+sqrt(x^2-1))/ xsqrt(x^2-1)+ln(x+sqrt(x^2-1))

Derivada de xsqrt(x^2-1)+ln(x+sqrt(x^2-1))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     ________      /       ________\
    /  2           |      /  2     |
x*\/  x  - 1  + log\x + \/  x  - 1 /
xx2−1+log⁡(x+x2−1)x \sqrt{x^{2} - 1} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right)} 
x*sqrt(x^2 - 1) + log(x + sqrt(x^2 - 1))
Solución detallada

  1. diferenciamos xx2−1+log⁡(x+x2−1)x \sqrt{x^{2} - 1} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=x2−1g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} - 1}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x2−1u = x^{2} - 1.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2−1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right):

        1. diferenciamos x2−1x^{2} - 1 miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          2. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

          Como resultado de: 2x2 x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xx2−1\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

      Como resultado de: x2x2−1+x2−1\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \sqrt{x^{2} - 1}

    2. Sustituimos u=x+x2−1u = x + \sqrt{x^{2} - 1}.

    3. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+x2−1)\frac{d}{d x} \left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right):

      1. diferenciamos x+x2−1x + \sqrt{x^{2} - 1} miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        2. Sustituimos u=x2−1u = x^{2} - 1.

        3. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2−1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right):

          1. diferenciamos x2−1x^{2} - 1 miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            2. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

            Como resultado de: 2x2 x

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          xx2−1\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

        Como resultado de: xx2−1+1\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      xx2−1+1x+x2−1\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}

    Como resultado de: x2x2−1+x2−1+xx2−1+1x+x2−1\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \sqrt{x^{2} - 1} + \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}

  2. Simplificamos:

    2x2x2−1\frac{2 x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

Respuesta:

2x2x2−1\frac{2 x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100200
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                                     x     
                            1 + -----------
                                   ________
   ________         2             /  2     
  /  2             x            \/  x  - 1 
\/  x  - 1  + ----------- + ---------------
                 ________          ________
                /  2              /  2     
              \/  x  - 1    x + \/  x  - 1
x2x2−1+x2−1+xx2−1+1x+x2−1\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \sqrt{x^{2} - 1} + \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                   2                                                 
                 /         x      \                                      2           
                 |1 + ------------|                                     x            
                 |       _________|                             -1 + -------         
        3        |      /       2 |                                        2         
       x         \    \/  -1 + x  /        3*x                       -1 + x          
- ------------ - ------------------- + ------------ - -------------------------------
           3/2                     2      _________      _________ /       _________\
  /      2\      /       _________\      /       2      /       2  |      /       2 |
  \-1 + x /      |      /       2 |    \/  -1 + x     \/  -1 + x  *\x + \/  -1 + x  /
                 \x + \/  -1 + x  /
−x3(x2−1)32+3xx2−1−x2x2−1−1(x+x2−1)x2−1−(xx2−1+1)2(x+x2−1)2- \frac{x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right) \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1\right)^{2}}{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                  3                                                                         /         2  \
                                /         x      \                              /         2  \           /         x      \ |        x   |
                              2*|1 + ------------|                              |        x   |         3*|1 + ------------|*|-1 + -------|
                                |       _________|                          3*x*|-1 + -------|           |       _________| |           2|
                      2         |      /       2 |           4                  |           2|           |      /       2 | \     -1 + x /
     3             6*x          \    \/  -1 + x  /        3*x                   \     -1 + x /           \    \/  -1 + x  /               
------------ - ------------ + --------------------- + ------------ + ------------------------------- + -----------------------------------
   _________            3/2                      3             5/2            3/2 /       _________\                                    2 
  /       2    /      2\       /       _________\     /      2\      /      2\    |      /       2 |        _________ /       _________\  
\/  -1 + x     \-1 + x /       |      /       2 |     \-1 + x /      \-1 + x /   *\x + \/  -1 + x  /       /       2  |      /       2 |  
                               \x + \/  -1 + x  /                                                        \/  -1 + x  *\x + \/  -1 + x  /
3x4(x2−1)52−6x2(x2−1)32+3x(x2x2−1−1)(x+x2−1)(x2−1)32+3x2−1+3(xx2−1+1)(x2x2−1−1)(x+x2−1)2x2−1+2(xx2−1+1)3(x+x2−1)3\frac{3 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{6 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right)^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right)^{3}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de xsqrt(x^2-1)+ln(x+sqrt(x^2-1))
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