Derivada de (x+sqrt(x))/(ln(4x))

Solución

Ha introducido [src]

      ___
x + \/ x 
---------
 log(4*x)

$$\frac{\sqrt{x} + x}{\log{\left(4 x \right)}}$$

(x + sqrt(x))/log(4*x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sqrt{x} + x$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $\sqrt{x} + x$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
  Como resultado de: $1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = 4 x$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$ :
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Entonces, como resultado: $4$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{1}{x}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \log{\left(4 x \right)} - \frac{\sqrt{x} + x}{x}}{\log{\left(4 x \right)}^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{- 2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + x\right) + x \left(2 \sqrt{x} + 1\right) \log{\left(4 x \right)}}{2 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(4 x \right)}^{2}}$

Respuesta:

$\frac{- 2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + x\right) + x \left(2 \sqrt{x} + 1\right) \log{\left(4 x \right)}}{2 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(4 x \right)}^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

       1                 
1 + -------              
        ___          ___ 
    2*\/ x     x + \/ x  
----------- - -----------
  log(4*x)         2     
              x*log (4*x)

$$\frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\log{\left(4 x \right)}} - \frac{\sqrt{x} + x}{x \log{\left(4 x \right)}^{2}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                 1                                
           2 + -----    /       2    \ /      ___\
                 ___    |1 + --------|*\x + \/ x /
    1          \/ x     \    log(4*x)/            
- ------ - ---------- + --------------------------
     3/2   x*log(4*x)           2                 
  4*x                          x *log(4*x)        
--------------------------------------------------
                     log(4*x)

$$\frac{- \frac{2 + \frac{1}{\sqrt{x}}}{x \log{\left(4 x \right)}} + \frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(4 x \right)}}\right) \left(\sqrt{x} + x\right)}{x^{2} \log{\left(4 x \right)}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}}{\log{\left(4 x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                             /      ___\ /       3           3    \     /       2    \ /      1  \
                           2*\x + \/ x /*|1 + -------- + ---------|   3*|1 + --------|*|2 + -----|
                                         |    log(4*x)      2     |     \    log(4*x)/ |      ___|
  3             3                        \               log (4*x)/                    \    \/ x /
------ + --------------- - ---------------------------------------- + ----------------------------
   5/2      5/2                           3                                     2                 
8*x      4*x   *log(4*x)                 x *log(4*x)                         2*x *log(4*x)        
--------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             log(4*x)

$$\frac{\frac{3 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(4 x \right)}}\right) \left(2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{2 x^{2} \log{\left(4 x \right)}} - \frac{2 \left(\sqrt{x} + x\right) \left(1 + \frac{3}{\log{\left(4 x \right)}} + \frac{3}{\log{\left(4 x \right)}^{2}}\right)}{x^{3} \log{\left(4 x \right)}} + \frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}} \log{\left(4 x \right)}}}{\log{\left(4 x \right)}}$$

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Gráfico

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Definida a trozos:

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