Derivada de y=(sin^4)5x+(cos^4)5x

1. diferenciamos $x 5 \sin^{4}{\left(x \right)} + x 5 \cos^{4}{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 5 \sin^{4}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         Entonces, como resultado: $20 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $20 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin^{4}{\left(x \right)}$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 5 \cos^{4}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $- 20 x \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + 5 \cos^{4}{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $20 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 20 x \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + 5 \sin^{4}{\left(x \right)} + 5 \cos^{4}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $20 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 20 x \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + 5 \sin^{4}{\left(x \right)} + 5 \cos^{4}{\left(x \right)}$

Respuesta:

$20 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 20 x \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + 5 \sin^{4}{\left(x \right)} + 5 \cos^{4}{\left(x \right)}$