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Derivada de ln(x+sqrt(x^2+a^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   /       _________\
   |      /  2    2 |
log\x + \/  x  + a  /
$$\log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}$$
log(x + sqrt(x^2 + a^2))
Solución detallada
  1. Sustituimos .

  2. Derivado es .

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

    1. diferenciamos miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: tenemos

      2. Sustituimos .

      3. Según el principio, aplicamos: tenemos

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

        1. diferenciamos miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: tenemos

          2. La derivada de una constante es igual a cero.

          Como resultado de:

        Como resultado de la secuencia de reglas:

      Como resultado de:

    Como resultado de la secuencia de reglas:

  4. Simplificamos:


Respuesta:

Primera derivada [src]
         x      
1 + ------------
       _________
      /  2    2 
    \/  x  + a  
----------------
       _________
      /  2    2 
x + \/  x  + a  
$$\frac{\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}$$
Segunda derivada [src]
 /                  2               \ 
 |/         x      \             2  | 
 ||1 + ------------|            x   | 
 ||       _________|    -1 + -------| 
 ||      /  2    2 |          2    2| 
 |\    \/  a  + x  /         a  + x | 
-|------------------- + ------------| 
 |         _________       _________| 
 |        /  2    2       /  2    2 | 
 \  x + \/  a  + x      \/  a  + x  / 
--------------------------------------
                  _________           
                 /  2    2            
           x + \/  a  + x             
$$- \frac{\frac{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}$$
Tercera derivada [src]
                    3                                             /         2  \
  /         x      \        /         2  \     /         x      \ |        x   |
2*|1 + ------------|        |        x   |   3*|1 + ------------|*|-1 + -------|
  |       _________|    3*x*|-1 + -------|     |       _________| |      2    2|
  |      /  2    2 |        |      2    2|     |      /  2    2 | \     a  + x /
  \    \/  a  + x  /        \     a  + x /     \    \/  a  + x  /               
--------------------- + ------------------ + -----------------------------------
                   2                3/2        /       _________\    _________  
 /       _________\        / 2    2\           |      /  2    2 |   /  2    2   
 |      /  2    2 |        \a  + x /           \x + \/  a  + x  /*\/  a  + x    
 \x + \/  a  + x  /                                                             
--------------------------------------------------------------------------------
                                       _________                                
                                      /  2    2                                 
                                x + \/  a  + x                                  
$$\frac{\frac{3 x \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)^{2}} + \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\sqrt{a^{2} + x^{2}} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)}}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}$$