Derivada de y=ln(x)/(x)*sin(2x)

Ha introducido [src]

log(x)         
------*sin(2*x)
  x

\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \sin{\left(2 x \right)}

(log(x)/x)*sin(2*x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = 2 x$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $2$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $2 \cos{\left(2 x \right)}$
  Como resultado de: $2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{x \left(2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) - \log{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{2 x \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - \log{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$

Respuesta:

$\frac{2 x \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - \log{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/1    log(x)\            2*cos(2*x)*log(x)
|-- - ------|*sin(2*x) + -----------------
| 2      2  |                    x        
\x      x   /

\left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}

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Segunda derivada [src]

                     (-3 + 2*log(x))*sin(2*x)   4*(-1 + log(x))*cos(2*x)
-4*log(x)*sin(2*x) + ------------------------ - ------------------------
                                 2                         x            
                                x                                       
------------------------------------------------------------------------
                                   x

\frac{- 4 \log{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}}{x}

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Tercera derivada [src]

                     (-11 + 6*log(x))*sin(2*x)   6*(-3 + 2*log(x))*cos(2*x)   12*(-1 + log(x))*sin(2*x)
-8*cos(2*x)*log(x) - ------------------------- + -------------------------- + -------------------------
                                  3                           2                           x            
                                 x                           x                                         
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   x

\frac{- 8 \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{12 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{6 \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{\left(6 \log{\left(x \right)} - 11\right) \sin{\left(2 x \right)}}{x^{3}}}{x}

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3-я производная [src]

                     (-11 + 6*log(x))*sin(2*x)   6*(-3 + 2*log(x))*cos(2*x)   12*(-1 + log(x))*sin(2*x)
-8*cos(2*x)*log(x) - ------------------------- + -------------------------- + -------------------------
                                  3                           2                           x            
                                 x                           x                                         
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   x

\frac{- 8 \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{12 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{6 \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{\left(6 \log{\left(x \right)} - 11\right) \sin{\left(2 x \right)}}{x^{3}}}{x}

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Gráfico

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Derivada de y=ln(x)/(x)*sin(2x)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución