Ecuación diferencial (x)(dy/dx)(2y-1)=y(1-x)

Tenemos la ecuación:
$$x \left(2 y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(1 - x\right) y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 2 y{\left(x \right)} - 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1 - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$\left(2 y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - y{\left(x \right)} + \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\left(2 y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{1 - x}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(2 y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(1 - x\right)}{x}$$
o
$$\frac{dy \left(2 y{\left(x \right)} - 1\right)}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(1 - x\right)}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{2 y - 1}{y}\, dy = \int \frac{1 - x}{x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$2 y - \log{\left(y \right)} = Const - x + \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{W\left(\frac{C_{1} e^{x}}{x}\right)}{2}$$