Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(1-x^3)dy=x^2*sqrt(4-y^2)dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
________ ___________
/ 3 d 2 / 2
\/ 1 - x *--(y(x)) = x *\/ 4 - y (x)
dx
$$\sqrt{1 - x^{3}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
sqrt(1 - x^3)*y' = x^2*sqrt(4 - y^2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{1 - x^{3}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{dx x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{dx x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}}\, dy = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{y}{2} \right)} = Const - \frac{2 \sqrt{1 - x^{3}}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(C_{1} - \frac{2 \sqrt{1 - x^{3}}}{3} \right)}$$
$$\sqrt{1 - x^{3}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{dx x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{dx x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}}\, dy = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{y}{2} \right)} = Const - \frac{2 \sqrt{1 - x^{3}}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(C_{1} - \frac{2 \sqrt{1 - x^{3}}}{3} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ ________\
| / 3 |
| 2*\/ 1 - x |
y(x) = 2*sin|C1 - -------------|
\ 3 /
$$y{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(C_{1} - \frac{2 \sqrt{1 - x^{3}}}{3} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)