Sr Examen

Ecuación diferencial cosy×(x-2)dy=siny×dx

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
    d                      d                             
- 2*--(y(x))*cos(y(x)) + x*--(y(x))*cos(y(x)) = sin(y(x))
    dx                     dx                            
$$x \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
x*cos(y)*y' - 2*cos(y)*y' = sin(y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x - 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x - 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x - 2}$$
o
$$- \frac{dy}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x - 2}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\tan{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x - 2}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\sin{\left(y \right)} \right)} = Const - \log{\left(x - 2 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} \left(x - 2\right) \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} \left(x - 2\right) \right)}$$
Respuesta [src]
y(x) = pi - asin(C1*(-2 + x))
$$y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} \left(x - 2\right) \right)}$$
y(x) = asin(C1*(-2 + x))
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} \left(x - 2\right) \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.5888551696544053)
(-5.555555555555555, 0.4435846903889643)
(-3.333333333333333, 0.3077871999547507)
(-1.1111111111111107, 0.17765417703312691)
(1.1111111111111107, 0.050513242332305044)
(3.333333333333334, -0.07581060069869558)
(5.555555555555557, -0.20336695086784795)
(7.777777777777779, -0.33439535117621466)
(10.0, -0.4717301333832226)
(10.0, -0.4717301333832226)