Sr Examen
Ecuación diferencial e^−x2/xdy=−dx/cos^2(y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d -x2
--(y(x))*e
dx -1
------------- = ----------
x 2
cos (y(x))
$$\frac{e^{- x_{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = - \frac{1}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
exp(-x2)*y'/x = -1/cos(y)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{e^{- x_{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = - \frac{1}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x e^{x_{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x e^{x_{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x e^{x_{2}}$$
o
$$dy \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - dx x e^{x_{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos^{2}{\left(y \right)}\, dy = \int \left(- x e^{x_{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}}{2} = Const - \frac{x^{2} e^{x_{2}}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \frac{\left(y{\left(x \right)} + \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\right) e^{- x_{2}}}{2} = C_{1} - \frac{x^{2}}{2}$$
$$\frac{e^{- x_{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = - \frac{1}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x e^{x_{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x e^{x_{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x e^{x_{2}}$$
o
$$dy \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - dx x e^{x_{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos^{2}{\left(y \right)}\, dy = \int \left(- x e^{x_{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}}{2} = Const - \frac{x^{2} e^{x_{2}}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \frac{\left(y{\left(x \right)} + \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\right) e^{- x_{2}}}{2} = C_{1} - \frac{x^{2}}{2}$$
Respuesta
[src]
-x2 2
(cos(y(x))*sin(y(x)) + y(x))*e x
--------------------------------- = C1 - --
2 2
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} + \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\right) e^{- x_{2}}}{2} = C_{1} - \frac{x^{2}}{2}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral