Sr Examen
Ecuación diferencial (8*(x^2)+3*x-5)*sin(y)*dx+(x^6)*(8*cos(y)3*sin(y))*dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 6 d
-5*sin(y(x)) + 3*x*sin(y(x)) + 8*x *sin(y(x)) + 24*x *--(y(x))*cos(y(x))*sin(y(x)) = 0
dx
$$24 x^{6} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 8 x^{2} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 3 x \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 5 \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
24*x^6*sin(y)*cos(y)*y' + 8*x^2*sin(y) + 3*x*sin(y) - 5*sin(y) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$24 x^{6} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 8 x^{2} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 3 x \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 5 \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{- 8 x^{2} - 3 x + 5}{24 x^{6}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{- 8 x^{2} - 3 x + 5}{24 x^{6}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(- 8 x^{2} - 3 x + 5\right)}{24 x^{6}}$$
o
$$dy \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = \frac{dx \left(- 8 x^{2} - 3 x + 5\right)}{24 x^{6}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \int \frac{- 8 x^{2} - 3 x + 5}{24 x^{6}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sin{\left(y \right)} = Const + \frac{32 x^{2} + 9 x - 12}{288 x^{5}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \pi$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} + \frac{1}{9 x^{3}} + \frac{1}{32 x^{4}} - \frac{1}{24 x^{5}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} + \frac{1}{9 x^{3}} + \frac{1}{32 x^{4}} - \frac{1}{24 x^{5}} \right)}$$
$$24 x^{6} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 8 x^{2} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 3 x \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 5 \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{- 8 x^{2} - 3 x + 5}{24 x^{6}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{- 8 x^{2} - 3 x + 5}{24 x^{6}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(- 8 x^{2} - 3 x + 5\right)}{24 x^{6}}$$
o
$$dy \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = \frac{dx \left(- 8 x^{2} - 3 x + 5\right)}{24 x^{6}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \int \frac{- 8 x^{2} - 3 x + 5}{24 x^{6}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sin{\left(y \right)} = Const + \frac{32 x^{2} + 9 x - 12}{288 x^{5}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \pi$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} + \frac{1}{9 x^{3}} + \frac{1}{32 x^{4}} - \frac{1}{24 x^{5}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} + \frac{1}{9 x^{3}} + \frac{1}{32 x^{4}} - \frac{1}{24 x^{5}} \right)}$$
Respuesta
[src]
y(x) = 0
$$y{\left(x \right)} = 0$$
y(x) = pi
$$y{\left(x \right)} = \pi$$
/ 1 1 1 \
y(x) = pi - asin|C1 - ----- + ---- + -----|
| 5 3 4|
\ 24*x 9*x 32*x /
$$y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} + \frac{1}{9 x^{3}} + \frac{1}{32 x^{4}} - \frac{1}{24 x^{5}} \right)}$$
/ 1 1 1 \
y(x) = asin|C1 - ----- + ---- + -----|
| 5 3 4|
\ 24*x 9*x 32*x /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} + \frac{1}{9 x^{3}} + \frac{1}{32 x^{4}} - \frac{1}{24 x^{5}} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7498378736447802)
(-5.555555555555555, 0.7493169717461544)
(-3.333333333333333, 0.746536348685364)
(-1.1111111111111107, 0.7021399842278736)
(1.1111111111111107, 1.5707963000804068)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 2.3858701223325355e+180)
(7.777777777777779, 8.388243566973865e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)