Sr Examen
Ecuación diferencial cos^2(x)*sin(2*y)*dy-tg(x)*dx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
-tan(x) + cos (x)*--(y(x))*sin(2*y(x)) = 0
dx
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} = 0$$
sin(2*y)*cos(x)^2*y' - tan(x) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$dy \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} = \frac{dx \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sin{\left(2 y \right)}\, dy = \int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2} = Const + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$dy \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} = \frac{dx \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sin{\left(2 y \right)}\, dy = \int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2} = Const + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
/ 1 \
acos|C1 - -------|
| 2 |
\ cos (x)/
y(x) = pi - ------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2}$$
/ 1 \
acos|C1 - -------|
| 2 |
\ cos (x)/
y(x) = ------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.570796152223339)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 9.144805860439919e-71)
(7.777777777777779, 8.388243567736264e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)