Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x^{2} + 9} = 2 x - 3$$
$$\sqrt{x^{2} + 9} = 2 x - 3$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x^{2} + 9 = \left(2 x - 3\right)^{2}$$
$$x^{2} + 9 = 4 x^{2} - 12 x + 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 3 x^{2} + 12 x = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -3$$
$$b = 12$$
$$c = 0$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(12)^2 - 4 * (-3) * (0) = 144
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Como
$$\sqrt{x^{2} + 9} = 2 x - 3$$
y
$$\sqrt{x^{2} + 9} \geq 0$$
entonces
$$2 x - 3 \geq 0$$
o
$$\frac{3}{2} \leq x$$
$$x < \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = 4$$