Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(2x)-2*cos^2(x)

Gráfico de la función y = sin(2x)-2*cos^2(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                       2   
f(x) = sin(2*x) - 2*cos (x)
f(x)=sin⁡(2x)−2cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} 
f = sin(2*x) - 2*cos(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)−2cos⁡2(x)=0\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=25.9181393921158x_{1} = 25.9181393921158
x2=89.5353906273091x_{2} = 89.5353906273091
x3=61.261056745001x_{3} = 61.261056745001
x4=42.4115008234622x_{4} = 42.4115008234622
x5=−99.7455667514759x_{5} = -99.7455667514759
x6=−42.4115008234622x_{6} = -42.4115008234622
x7=−29.845130209103x_{7} = -29.845130209103
x8=22.776546738526x_{8} = 22.776546738526
x9=17.2787595947439x_{9} = 17.2787595947439
x10=−36.1283155162826x_{10} = -36.1283155162826
x11=86.3937979737193x_{11} = 86.3937979737193
x12=−65.1880475619882x_{12} = -65.1880475619882
x13=82.4668071567321x_{13} = 82.4668071567321
x14=38.484510006475x_{14} = 38.484510006475
x15=−95.8185759344887x_{15} = -95.8185759344887
x16=−77.7544181763474x_{16} = -77.7544181763474
x17=23.5619449019235x_{17} = 23.5619449019235
x18=−14.1371669411541x_{18} = -14.1371669411541
x19=−5.49778714378214x_{19} = -5.49778714378214
x20=76.1836218495525x_{20} = 76.1836218495525
x21=54.1924732744239x_{21} = 54.1924732744239
x22=58.1194640914112x_{22} = 58.1194640914112
x23=−62.0464549083984x_{23} = -62.0464549083984
x24=91.8915851175014x_{24} = 91.8915851175014
x25=−92.6769832808989x_{25} = -92.6769832808989
x26=−48.6946861306418x_{26} = -48.6946861306418
x27=−33.7721210260903x_{27} = -33.7721210260903
x28=−23.5619449019235x_{28} = -23.5619449019235
x29=−86.3937979737193x_{29} = -86.3937979737193
x30=10.2101761241668x_{30} = 10.2101761241668
x31=−17.2787595947439x_{31} = -17.2787595947439
x32=−26.7035375555132x_{32} = -26.7035375555132
x33=−87.1791961371168x_{33} = -87.1791961371168
x34=−67.5442420521806x_{34} = -67.5442420521806
x35=−80.1106126665397x_{35} = -80.1106126665397
x36=−1.5707963267949x_{36} = -1.5707963267949
x37=36.1283155162826x_{37} = 36.1283155162826
x38=0.785398163397448x_{38} = 0.785398163397448
x39=−40.0553063332699x_{39} = -40.0553063332699
x40=88.7499924639117x_{40} = 88.7499924639117
x41=−2530.55288246658x_{41} = -2530.55288246658
x42=83.2522053201295x_{42} = 83.2522053201295
x43=−45.553093477052x_{43} = -45.553093477052
x44=−89.5353906273091x_{44} = -89.5353906273091
x45=−70.6858347057703x_{45} = -70.6858347057703
x46=73.8274273593601x_{46} = 73.8274273593601
x47=98.174770424681x_{47} = 98.174770424681
x48=20.4203522483337x_{48} = 20.4203522483337
x49=16.4933614313464x_{49} = 16.4933614313464
x50=3.92699081698724x_{50} = 3.92699081698724
x51=1.5707963267949x_{51} = 1.5707963267949
x52=−80.8960108299372x_{52} = -80.8960108299372
x53=−6942.13436627005x_{53} = -6942.13436627005
x54=45.553093477052x_{54} = 45.553093477052
x55=95.8185759344887x_{55} = 95.8185759344887
x56=−20.4203522483337x_{56} = -20.4203522483337
x57=−58.1194640914112x_{57} = -58.1194640914112
x58=−93.4623814442964x_{58} = -93.4623814442964
x59=−55.7632696012188x_{59} = -55.7632696012188
x60=−27.4889357189107x_{60} = -27.4889357189107
x61=80.1106126665397x_{61} = 80.1106126665397
x62=−84.037603483527x_{62} = -84.037603483527
x63=44.7676953136546x_{63} = 44.7676953136546
x64=7.85398163397448x_{64} = 7.85398163397448
x65=29.845130209103x_{65} = 29.845130209103
x66=−11.7809724509617x_{66} = -11.7809724509617
x67=14.1371669411541x_{67} = 14.1371669411541
x68=39.2699081698724x_{68} = 39.2699081698724
x69=−64.4026493985908x_{69} = -64.4026493985908
x70=−4.71238898038469x_{70} = -4.71238898038469
x71=51.8362787842316x_{71} = 51.8362787842316
x72=−71.4712328691678x_{72} = -71.4712328691678
x73=64.4026493985908x_{73} = 64.4026493985908
x74=−73.8274273593601x_{74} = -73.8274273593601
x75=32.2013246992954x_{75} = 32.2013246992954
x76=−49.4800842940392x_{76} = -49.4800842940392
x77=−51.8362787842316x_{77} = -51.8362787842316
x78=−43.1968989868597x_{78} = -43.1968989868597
x79=67.5442420521806x_{79} = 67.5442420521806
x80=60.4756585816035x_{80} = 60.4756585816035
x81=−7.85398163397448x_{81} = -7.85398163397448
x82=47.9092879672443x_{82} = 47.9092879672443
x83=69.9004365423729x_{83} = 69.9004365423729
x84=66.7588438887831x_{84} = 66.7588438887831
x85=−21.2057504117311x_{85} = -21.2057504117311
x86=−18.0641577581413x_{86} = -18.0641577581413
x87=−102.101761241668x_{87} = -102.101761241668
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x) - 2*cos(x)^2.
−2cos⁡2(0)+sin⁡(0⋅2)- 2 \cos^{2}{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4sin⁡(x)cos⁡(x)+2cos⁡(2x)=04 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π8x_{1} = - \frac{5 \pi}{8}
x2=−π8x_{2} = - \frac{\pi}{8}
x3=3π8x_{3} = \frac{3 \pi}{8}
x4=7π8x_{4} = \frac{7 \pi}{8}
Signos de extremos en los puntos:
 -5*pi         ___ 
(-----, -1 + \/ 2 )
   8               

 -pi          ___ 
(----, -1 - \/ 2 )
  8               

 3*pi         ___ 
(----, -1 + \/ 2 )
  8               

 7*pi         ___ 
(----, -1 - \/ 2 )
  8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}
x2=7π8x_{2} = \frac{7 \pi}{8}
Puntos máximos de la función:
x2=−5π8x_{2} = - \frac{5 \pi}{8}
x2=3π8x_{2} = \frac{3 \pi}{8}
Decrece en los intervalos
[7π8,∞)\left[\frac{7 \pi}{8}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π8]∪[3π8,7π8]\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{8}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(−sin⁡2(x)−sin⁡(2x)+cos⁡2(x))=04 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−7π8x_{1} = - \frac{7 \pi}{8}
x2=−3π8x_{2} = - \frac{3 \pi}{8}
x3=π8x_{3} = \frac{\pi}{8}
x4=5π8x_{4} = \frac{5 \pi}{8}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[5π8,∞)\left[\frac{5 \pi}{8}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3π8]∪[π8,5π8]\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{8}\right] \cup \left[\frac{\pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)−2cos⁡2(x))=⟨−3,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)−2cos⁡2(x))=⟨−3,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x) - 2*cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)−2cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)−2cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x)−2cos⁡2(x)=−sin⁡(2x)−2cos⁡2(x)\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
sin⁡(2x)−2cos⁡2(x)=sin⁡(2x)+2cos⁡2(x)\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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