Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg(3x)

Gráfico de la función y = ctg(3x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cot(3*x)
f(x)=cot⁡(3x)f{\left(x \right)} = \cot{\left(3 x \right)} 
f = cot(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(3x)=0\cot{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Solución numérica
x1=60.2138591938044x_{1} = 60.2138591938044
x2=73.8274273593601x_{2} = 73.8274273593601
x3=84.2994028713261x_{3} = 84.2994028713261
x4=−93.7241808320955x_{4} = -93.7241808320955
x5=14.1371669411541x_{5} = 14.1371669411541
x6=58.1194640914112x_{6} = 58.1194640914112
x7=9.94837673636768x_{7} = 9.94837673636768
x8=90.5825881785057x_{8} = 90.5825881785057
x9=92.6769832808989x_{9} = 92.6769832808989
x10=40.317105721069x_{10} = 40.317105721069
x11=36.1283155162826x_{11} = 36.1283155162826
x12=−7.85398163397448x_{12} = -7.85398163397448
x13=−58.1194640914112x_{13} = -58.1194640914112
x14=86.3937979737193x_{14} = 86.3937979737193
x15=51.8362787842316x_{15} = 51.8362787842316
x16=69.6386371545737x_{16} = 69.6386371545737
x17=−89.5353906273091x_{17} = -89.5353906273091
x18=25.6563400043166x_{18} = 25.6563400043166
x19=−18.3259571459405x_{19} = -18.3259571459405
x20=−82.2050077689329x_{20} = -82.2050077689329
x21=3.66519142918809x_{21} = 3.66519142918809
x22=−5.75958653158129x_{22} = -5.75958653158129
x23=−97.9129710368819x_{23} = -97.9129710368819
x24=56.025068989018x_{24} = 56.025068989018
x25=−75.9218224617533x_{25} = -75.9218224617533
x26=−3.66519142918809x_{26} = -3.66519142918809
x27=47.6474885794452x_{27} = 47.6474885794452
x28=5.75958653158129x_{28} = 5.75958653158129
x29=−31.9395253114962x_{29} = -31.9395253114962
x30=−36.1283155162826x_{30} = -36.1283155162826
x31=−19.3731546971371x_{31} = -19.3731546971371
x32=−49.7418836818384x_{32} = -49.7418836818384
x33=−16.2315620435473x_{33} = -16.2315620435473
x34=−14.1371669411541x_{34} = -14.1371669411541
x35=80.1106126665397x_{35} = 80.1106126665397
x36=95.8185759344887x_{36} = 95.8185759344887
x37=34.0339204138894x_{37} = 34.0339204138894
x38=12.0427718387609x_{38} = 12.0427718387609
x39=49.7418836818384x_{39} = 49.7418836818384
x40=20.4203522483337x_{40} = 20.4203522483337
x41=−23.5619449019235x_{41} = -23.5619449019235
x42=−51.8362787842316x_{42} = -51.8362787842316
x43=−29.845130209103x_{43} = -29.845130209103
x44=27.7507351067098x_{44} = 27.7507351067098
x45=38.2227106186758x_{45} = 38.2227106186758
x46=7.85398163397448x_{46} = 7.85398163397448
x47=16.2315620435473x_{47} = 16.2315620435473
x48=−62.3082542961976x_{48} = -62.3082542961976
x49=−95.8185759344887x_{49} = -95.8185759344887
x50=2.61799387799149x_{50} = 2.61799387799149
x51=24.60914245312x_{51} = 24.60914245312
x52=−41.3643032722656x_{52} = -41.3643032722656
x53=−9.94837673636768x_{53} = -9.94837673636768
x54=−69.6386371545737x_{54} = -69.6386371545737
x55=−27.7507351067098x_{55} = -27.7507351067098
x56=78.0162175641465x_{56} = 78.0162175641465
x57=−56.025068989018x_{57} = -56.025068989018
x58=−12.0427718387609x_{58} = -12.0427718387609
x59=88.4881930761125x_{59} = 88.4881930761125
x60=53.9306738866248x_{60} = 53.9306738866248
x61=−43.4586983746588x_{61} = -43.4586983746588
x62=−67.5442420521806x_{62} = -67.5442420521806
x63=−21.4675497995303x_{63} = -21.4675497995303
x64=31.9395253114962x_{64} = 31.9395253114962
x65=18.3259571459405x_{65} = 18.3259571459405
x66=−84.2994028713261x_{66} = -84.2994028713261
x67=66.497044500984x_{67} = 66.497044500984
x68=−45.553093477052x_{68} = -45.553093477052
x69=−71.733032256967x_{69} = -71.733032256967
x70=42.4115008234622x_{70} = 42.4115008234622
x71=−60.2138591938044x_{71} = -60.2138591938044
x72=46.6002910282486x_{72} = 46.6002910282486
x73=68.5914396033772x_{73} = 68.5914396033772
x74=−73.8274273593601x_{74} = -73.8274273593601
x75=−25.6563400043166x_{75} = -25.6563400043166
x76=−1.5707963267949x_{76} = -1.5707963267949
x77=93.7241808320955x_{77} = 93.7241808320955
x78=22.5147473507269x_{78} = 22.5147473507269
x79=−34.0339204138894x_{79} = -34.0339204138894
x80=100.007366139275x_{80} = 100.007366139275
x81=−91.6297857297023x_{81} = -91.6297857297023
x82=−47.6474885794452x_{82} = -47.6474885794452
x83=75.9218224617533x_{83} = 75.9218224617533
x84=82.2050077689329x_{84} = 82.2050077689329
x85=97.9129710368819x_{85} = 97.9129710368819
x86=−53.9306738866248x_{86} = -53.9306738866248
x87=−87.4409955249159x_{87} = -87.4409955249159
x88=−78.0162175641465x_{88} = -78.0162175641465
x89=−38.2227106186758x_{89} = -38.2227106186758
x90=44.5058959258554x_{90} = 44.5058959258554
x91=−63.3554518473942x_{91} = -63.3554518473942
x92=71.733032256967x_{92} = 71.733032256967
x93=−80.1106126665397x_{93} = -80.1106126665397
x94=−100.007366139275x_{94} = -100.007366139275
x95=64.4026493985908x_{95} = 64.4026493985908
x96=29.845130209103x_{96} = 29.845130209103
x97=62.3082542961976x_{97} = 62.3082542961976
x98=−85.3466004225227x_{98} = -85.3466004225227
x99=−65.4498469497874x_{99} = -65.4498469497874
x100=−40.317105721069x_{100} = -40.317105721069
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(3*x).
cot⁡(0⋅3)\cot{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3cot⁡2(3x)−3=0- 3 \cot^{2}{\left(3 x \right)} - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
18(cot⁡2(3x)+1)cot⁡(3x)=018 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \cot{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π6]\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right]
Convexa en los intervalos
[π6,∞)\left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(3x)=−cot⁡(∞)\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(3 x \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡x→∞cot⁡(3x)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(3 x \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(3x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(3x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(3x)=−cot⁡(3x)\cot{\left(3 x \right)} = - \cot{\left(3 x \right)}
- No
cot⁡(3x)=cot⁡(3x)\cot{\left(3 x \right)} = \cot{\left(3 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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