Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(t)

Gráfico de la función y = 2*sin(t)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(t) = 2*sin(t)
f(t)=2sin⁡(t)f{\left(t \right)} = 2 \sin{\left(t \right)} 
f = 2*sin(t)
Gráfico de la función
-2.5-2.0-1.5-1.0-0.52.50.00.51.01.52.05-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(t)=02 \sin{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=0t_{1} = 0
t2=πt_{2} = \pi
Solución numérica
t1=62.8318530717959t_{1} = 62.8318530717959
t2=−50.2654824574367t_{2} = -50.2654824574367
t3=47.1238898038469t_{3} = 47.1238898038469
t4=84.8230016469244t_{4} = 84.8230016469244
t5=−53.4070751110265t_{5} = -53.4070751110265
t6=91.106186954104t_{6} = 91.106186954104
t7=−84.8230016469244t_{7} = -84.8230016469244
t8=−2642.07942166902t_{8} = -2642.07942166902
t9=25.1327412287183t_{9} = 25.1327412287183
t10=−3.14159265358979t_{10} = -3.14159265358979
t11=−6.28318530717959t_{11} = -6.28318530717959
t12=−40.8407044966673t_{12} = -40.8407044966673
t13=−18.8495559215388t_{13} = -18.8495559215388
t14=78.5398163397448t_{14} = 78.5398163397448
t15=−75.398223686155t_{15} = -75.398223686155
t16=−9.42477796076938t_{16} = -9.42477796076938
t17=72.2566310325652t_{17} = 72.2566310325652
t18=−43.9822971502571t_{18} = -43.9822971502571
t19=31.4159265358979t_{19} = 31.4159265358979
t20=9.42477796076938t_{20} = 9.42477796076938
t21=−267.035375555132t_{21} = -267.035375555132
t22=40.8407044966673t_{22} = 40.8407044966673
t23=−69.1150383789755t_{23} = -69.1150383789755
t24=12.5663706143592t_{24} = 12.5663706143592
t25=87.9645943005142t_{25} = 87.9645943005142
t26=59.6902604182061t_{26} = 59.6902604182061
t27=−37.6991118430775t_{27} = -37.6991118430775
t28=−100.530964914873t_{28} = -100.530964914873
t29=−91.106186954104t_{29} = -91.106186954104
t30=97.3893722612836t_{30} = 97.3893722612836
t31=0t_{31} = 0
t32=−12.5663706143592t_{32} = -12.5663706143592
t33=−78.5398163397448t_{33} = -78.5398163397448
t34=−232.477856365645t_{34} = -232.477856365645
t35=18.8495559215388t_{35} = 18.8495559215388
t36=−94.2477796076938t_{36} = -94.2477796076938
t37=34.5575191894877t_{37} = 34.5575191894877
t38=−113.097335529233t_{38} = -113.097335529233
t39=43.9822971502571t_{39} = 43.9822971502571
t40=−31.4159265358979t_{40} = -31.4159265358979
t41=−81.6814089933346t_{41} = -81.6814089933346
t42=−65.9734457253857t_{42} = -65.9734457253857
t43=75.398223686155t_{43} = 75.398223686155
t44=56.5486677646163t_{44} = 56.5486677646163
t45=3.14159265358979t_{45} = 3.14159265358979
t46=15.707963267949t_{46} = 15.707963267949
t47=−56.5486677646163t_{47} = -56.5486677646163
t48=−21.9911485751286t_{48} = -21.9911485751286
t49=50.2654824574367t_{49} = 50.2654824574367
t50=−15.707963267949t_{50} = -15.707963267949
t51=28.2743338823081t_{51} = 28.2743338823081
t52=94.2477796076938t_{52} = 94.2477796076938
t53=−59.6902604182061t_{53} = -59.6902604182061
t54=−62.8318530717959t_{54} = -62.8318530717959
t55=69.1150383789755t_{55} = 69.1150383789755
t56=−34.5575191894877t_{56} = -34.5575191894877
t57=−97.3893722612836t_{57} = -97.3893722612836
t58=21.9911485751286t_{58} = 21.9911485751286
t59=65.9734457253857t_{59} = 65.9734457253857
t60=37.6991118430775t_{60} = 37.6991118430775
t61=−87.9645943005142t_{61} = -87.9645943005142
t62=−72.2566310325652t_{62} = -72.2566310325652
t63=−25.1327412287183t_{63} = -25.1327412287183
t64=−28.2743338823081t_{64} = -28.2743338823081
t65=81.6814089933346t_{65} = 81.6814089933346
t66=6.28318530717959t_{66} = 6.28318530717959
t67=100.530964914873t_{67} = 100.530964914873
t68=53.4070751110265t_{68} = 53.4070751110265
t69=−47.1238898038469t_{69} = -47.1238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en 2*sin(t).
2sin⁡(0)2 \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
2cos⁡(t)=02 \cos{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=π2t_{1} = \frac{\pi}{2}
t2=3π2t_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 2)
 2     

 3*pi     
(----, -2)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
t1=3π2t_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
t1=π2t_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(t)=0- 2 \sin{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0
t2=πt_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞(2sin⁡(t))=⟨−2,2⟩\lim_{t \to -\infty}\left(2 \sin{\left(t \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡t→∞(2sin⁡(t))=⟨−2,2⟩\lim_{t \to \infty}\left(2 \sin{\left(t \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(2sin⁡(t)t)=0\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡t→∞(2sin⁡(t)t)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(t)=−2sin⁡(t)2 \sin{\left(t \right)} = - 2 \sin{\left(t \right)}
- No
2sin⁡(t)=2sin⁡(t)2 \sin{\left(t \right)} = 2 \sin{\left(t \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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