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Trazado el gráfico de la función/ (atan(x)+(pi)/2)/(pi)

Gráfico de la función y = (atan(x)+(pi)/2)/(pi)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 pi
       atan(x) + --
                 2 
f(x) = ------------
            pi
$$f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi}$$ 
f = (atan(x) + pi/2)/pi
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (atan(x) + pi/2)/pi.
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(0 \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}$$
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\pi \left(x^{2} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 x}{\pi \left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (atan(x) + pi/2)/pi, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi} = \frac{- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi}$$
- No
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi} = - \frac{- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}{\pi}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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