Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=arccos(sqrt(1+sin^2(x)))

Gráfico de la función y = y=arccos(sqrt(1+sin^2(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /   _____________\
           |  /        2    |
f(x) = acos\\/  1 + sin (x) /
f(x)=acos⁡(sin⁡2(x)+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)} 
f = acos(sqrt(sin(x)^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(sin⁡2(x)+1)=0\operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=59.6902604182061x_{1} = 59.6902604182061
x2=−100.530964914873x_{2} = -100.530964914873
x3=−25.1327412287183x_{3} = -25.1327412287183
x4=−15.707963267949x_{4} = -15.707963267949
x5=84.8230016469244x_{5} = 84.8230016469244
x6=0x_{6} = 0
x7=−75.398223686155x_{7} = -75.398223686155
x8=97.3893722612836x_{8} = 97.3893722612836
x9=−50.2654824574367x_{9} = -50.2654824574367
x10=81.6814089933346x_{10} = 81.6814089933346
x11=−72.2566310325652x_{11} = -72.2566310325652
x12=50.2654824574367x_{12} = 50.2654824574367
x13=−65.9734457253857x_{13} = -65.9734457253857
x14=−37.6991118430775x_{14} = -37.6991118430775
x15=−43.9822971502571x_{15} = -43.9822971502571
x16=−53.4070751110265x_{16} = -53.4070751110265
x17=−59.6902604182061x_{17} = -59.6902604182061
x18=15.707963267949x_{18} = 15.707963267949
x19=−56.5486677646163x_{19} = -56.5486677646163
x20=18.8495559215388x_{20} = 18.8495559215388
x21=9.42477796076938x_{21} = 9.42477796076938
x22=−6.28318530717959x_{22} = -6.28318530717959
x23=12.5663706143592x_{23} = 12.5663706143592
x24=56.5486677646163x_{24} = 56.5486677646163
x25=−219.911485751286x_{25} = -219.911485751286
x26=40.8407044966673x_{26} = 40.8407044966673
x27=6.28318530717959x_{27} = 6.28318530717959
x28=72.2566310325652x_{28} = 72.2566310325652
x29=−78.5398163397448x_{29} = -78.5398163397448
x30=37.6991118430775x_{30} = 37.6991118430775
x31=21.9911485751286x_{31} = 21.9911485751286
x32=−31.4159265358979x_{32} = -31.4159265358979
x33=−97.3893722612836x_{33} = -97.3893722612836
x34=34.5575191894877x_{34} = 34.5575191894877
x35=100.530964914873x_{35} = 100.530964914873
x36=−47.1238898038469x_{36} = -47.1238898038469
x37=28.2743338823081x_{37} = 28.2743338823081
x38=94.2477796076938x_{38} = 94.2477796076938
x39=−12.5663706143592x_{39} = -12.5663706143592
x40=−34.5575191894877x_{40} = -34.5575191894877
x41=−28.2743338823081x_{41} = -28.2743338823081
x42=78.5398163397448x_{42} = 78.5398163397448
x43=−94.2477796076938x_{43} = -94.2477796076938
x44=−21.9911485751286x_{44} = -21.9911485751286
x45=−91.106186954104x_{45} = -91.106186954104
x46=43.9822971502571x_{46} = 43.9822971502571
x47=75.398223686155x_{47} = 75.398223686155
x48=62.8318530717959x_{48} = 62.8318530717959
x49=−3.14159265358979x_{49} = -3.14159265358979
x50=87.9645943005142x_{50} = 87.9645943005142
x51=65.9734457253857x_{51} = 65.9734457253857
x52=53.4070751110265x_{52} = 53.4070751110265
x53=−81.6814089933346x_{53} = -81.6814089933346
x54=−87.9645943005142x_{54} = -87.9645943005142
x55=−9.42477796076938x_{55} = -9.42477796076938
x56=−69.1150383789755x_{56} = -69.1150383789755
x57=31.4159265358979x_{57} = 31.4159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(sqrt(1 + sin(x)^2)).
acos⁡(sin⁡2(0)+1)\operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(0 \right)} + 1} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
isin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1∣sin⁡(x)∣=0\frac{i \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \left|{\sin{\left(x \right)}}\right|} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi      /  ___\ 
(--, acos\\/ 2 /)
 2               

 3*pi      /  ___\ 
(----, acos\\/ 2 /)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞acos⁡(sin⁡2(x)+1)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞acos⁡(sin⁡2(x)+1)\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(sqrt(1 + sin(x)^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(acos⁡(sin⁡2(x)+1)x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}{x}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(sin⁡2(x)+1)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(sin⁡2(x)+1)=acos⁡(sin⁡2(x)+1)\operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}
- Sí
acos⁡(sin⁡2(x)+1)=−acos⁡(sin⁡2(x)+1)\operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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