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Trazado el gráfico de la función/ lg(tgx)+lg(ctgx)

Gráfico de la función y = lg(tgx)+lg(ctgx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(tan(x)) + log(cot(x))
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}$$ 
f = log(tan(x)) + log(cot(x))
Gráfico de la función
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{\cot{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(tan(x)) + log(cot(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \tan{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(- \cot{\left(x \right)} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \tan{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(- \cot{\left(x \right)} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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