Sr Examen

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-cos(x)/2
Trazado el gráfico de la función/ -cos(x)/2

Gráfico de la función y = -cos(x)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       -cos(x) 
f(x) = --------
          2
f(x)=(−1)cos⁡(x)2f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2} 
f = (-cos(x))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−1)cos⁡(x)2=0\frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=14.1371669411541x_{1} = 14.1371669411541
x2=73.8274273593601x_{2} = 73.8274273593601
x3=−92.6769832808989x_{3} = -92.6769832808989
x4=−48.6946861306418x_{4} = -48.6946861306418
x5=89.5353906273091x_{5} = 89.5353906273091
x6=−2266.65909956504x_{6} = -2266.65909956504
x7=−23.5619449019235x_{7} = -23.5619449019235
x8=−86.3937979737193x_{8} = -86.3937979737193
x9=39.2699081698724x_{9} = 39.2699081698724
x10=−17.2787595947439x_{10} = -17.2787595947439
x11=20.4203522483337x_{11} = 20.4203522483337
x12=−26.7035375555132x_{12} = -26.7035375555132
x13=61.261056745001x_{13} = 61.261056745001
x14=42.4115008234622x_{14} = 42.4115008234622
x15=−64.4026493985908x_{15} = -64.4026493985908
x16=−83.2522053201295x_{16} = -83.2522053201295
x17=−4.71238898038469x_{17} = -4.71238898038469
x18=−168.075206967054x_{18} = -168.075206967054
x19=−42.4115008234622x_{19} = -42.4115008234622
x20=−29.845130209103x_{20} = -29.845130209103
x21=17.2787595947439x_{21} = 17.2787595947439
x22=51.8362787842316x_{22} = 51.8362787842316
x23=1.5707963267949x_{23} = 1.5707963267949
x24=−67.5442420521806x_{24} = -67.5442420521806
x25=−36.1283155162826x_{25} = -36.1283155162826
x26=45.553093477052x_{26} = 45.553093477052
x27=−80.1106126665397x_{27} = -80.1106126665397
x28=86.3937979737193x_{28} = 86.3937979737193
x29=−73.8274273593601x_{29} = -73.8274273593601
x30=32.9867228626928x_{30} = 32.9867228626928
x31=64.4026493985908x_{31} = 64.4026493985908
x32=−1.5707963267949x_{32} = -1.5707963267949
x33=95.8185759344887x_{33} = 95.8185759344887
x34=−20.4203522483337x_{34} = -20.4203522483337
x35=−10.9955742875643x_{35} = -10.9955742875643
x36=−98.9601685880785x_{36} = -98.9601685880785
x37=92.6769832808989x_{37} = 92.6769832808989
x38=36.1283155162826x_{38} = 36.1283155162826
x39=−32.9867228626928x_{39} = -32.9867228626928
x40=−39.2699081698724x_{40} = -39.2699081698724
x41=−58.1194640914112x_{41} = -58.1194640914112
x42=−61.261056745001x_{42} = -61.261056745001
x43=4.71238898038469x_{43} = 4.71238898038469
x44=−76.9690200129499x_{44} = -76.9690200129499
x45=−95.8185759344887x_{45} = -95.8185759344887
x46=48.6946861306418x_{46} = 48.6946861306418
x47=−51.8362787842316x_{47} = -51.8362787842316
x48=23.5619449019235x_{48} = 23.5619449019235
x49=67.5442420521806x_{49} = 67.5442420521806
x50=−14.1371669411541x_{50} = -14.1371669411541
x51=76.9690200129499x_{51} = 76.9690200129499
x52=98.9601685880785x_{52} = 98.9601685880785
x53=80.1106126665397x_{53} = 80.1106126665397
x54=−7.85398163397448x_{54} = -7.85398163397448
x55=7.85398163397448x_{55} = 7.85398163397448
x56=−387.986692718339x_{56} = -387.986692718339
x57=58.1194640914112x_{57} = 58.1194640914112
x58=−45.553093477052x_{58} = -45.553093477052
x59=83.2522053201295x_{59} = 83.2522053201295
x60=54.9778714378214x_{60} = 54.9778714378214
x61=26.7035375555132x_{61} = 26.7035375555132
x62=−89.5353906273091x_{62} = -89.5353906273091
x63=10.9955742875643x_{63} = 10.9955742875643
x64=−70.6858347057703x_{64} = -70.6858347057703
x65=70.6858347057703x_{65} = 70.6858347057703
x66=−54.9778714378214x_{66} = -54.9778714378214
x67=29.845130209103x_{67} = 29.845130209103
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-cos(x))/2.
(−1)cos⁡(0)2\frac{\left(-1\right) \cos{\left(0 \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=−12f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{2}
Punto:
(0, -1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)2=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1/2)

     1 
(pi, -)
     2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cos⁡(x)2=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−1)cos⁡(x)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞((−1)cos⁡(x)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-cos(x))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−cos⁡(x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−cos⁡(x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−1)cos⁡(x)2=(−1)cos⁡(x)2\frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2} = \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}
- Sí
(−1)cos⁡(x)2=−(−1)cos⁡(x)2\frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2} = - \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = -cos(x)/2
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