Sr Examen

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(-cos(x/2)-sin(x/2))*exp(-x)
Trazado el gráfico de la función/ (-cos(x/2)-sin(x/2))*exp(-x)

Gráfico de la función y = (-cos(x/2)-sin(x/2))*exp(-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /     /x\      /x\\  -x
f(x) = |- cos|-| - sin|-||*e  
       \     \2/      \2//
f(x)=(−sin⁡(x2)−cos⁡(x2))e−xf{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x} 
f = (-sin(x/2) - cos(x/2))*exp(-x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−sin⁡(x2)−cos⁡(x2))e−x=0\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=73.8274273593601x_{1} = 73.8274273593601
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
x3=105.243353895258x_{3} = 105.243353895258
x4=−26.7035375555132x_{4} = -26.7035375555132
x5=92.6769832808989x_{5} = 92.6769832808989
x6=61.261056745001x_{6} = 61.261056745001
x7=42.4115008234622x_{7} = 42.4115008234622
x8=67.5442420521806x_{8} = 67.5442420521806
x9=−7.85398163397448x_{9} = -7.85398163397448
x10=80.1106126665397x_{10} = 80.1106126665397
x11=−14.1371669411541x_{11} = -14.1371669411541
x12=−1.5707963267949x_{12} = -1.5707963267949
x13=29.845130209103x_{13} = 29.845130209103
x14=10.9955742875643x_{14} = 10.9955742875643
x15=17.2787595947439x_{15} = 17.2787595947439
x16=23.5619449019235x_{16} = 23.5619449019235
x17=54.9778714378214x_{17} = 54.9778714378214
x18=48.6946861306418x_{18} = 48.6946861306418
x19=−20.4203522483337x_{19} = -20.4203522483337
x20=86.3937979737193x_{20} = 86.3937979737193
x21=98.9601685880785x_{21} = 98.9601685880785
x22=36.1283155162826x_{22} = 36.1283155162826
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-cos(x/2) - sin(x/2))*exp(-x).
(−cos⁡(02)−sin⁡(02))e−0\left(- \cos{\left(\frac{0}{2} \right)} - \sin{\left(\frac{0}{2} \right)}\right) e^{- 0}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(−sin⁡(x2)−cos⁡(x2))e−x+(sin⁡(x2)2−cos⁡(x2)2)e−x=0- \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x} + \left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(13)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                  ____  2*atan(1/3)  
               -\/ 10 *e             
(-2*atan(1/3), ---------------------)
                         5


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2atan⁡(13)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−2atan⁡(13),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(13)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−7sin⁡(x2)+cos⁡(x2))e−x4=0\frac{\left(- 7 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(17)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{7} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2atan⁡(17)]\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{7} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[2atan⁡(17),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{7} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(x2)−cos⁡(x2))e−x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞((−sin⁡(x2)−cos⁡(x2))e−x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-cos(x/2) - sin(x/2))*exp(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(x2)−cos⁡(x2))e−xx)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞((−sin⁡(x2)−cos⁡(x2))e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−sin⁡(x2)−cos⁡(x2))e−x=(sin⁡(x2)−cos⁡(x2))ex\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x} = \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}
- No
(−sin⁡(x2)−cos⁡(x2))e−x=−(sin⁡(x2)−cos⁡(x2))ex\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x} = - \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-cos(x/2)-sin(x/2))*exp(-x)
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