Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)^(dos)-cos(x)
- seno de (x) en el grado (2) menos coseno de (x)
- seno de (x) en el grado (dos) menos coseno de (x)
- sin(x)(2)-cos(x)
- sinx2-cosx
- sinx^2-cosx
-
Expresiones semejantes
- sin(x)^(2)+cos(x)
- sinx^(2)-cosx
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)+5
- sin(x)-cos(x^2)+(1/4)
- sin(x)*2*x
- sin(x^(3)+x)
- sin(x)*3
- Coseno cos
- cos(x)+cos(2x)
- cos(x^2+5)^(3)
- cos[x/3]
- cos(x)/8
- cos(5*x)+sin(5*x)
Gráfico de la función y = sin(x)^(2)-cos(x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = sin (x) - cos(x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^2 - cos(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 7.18774220148197$$
$$x_{2} = -11.6618137200568$$
$$x_{3} = 82.585965887637$$
$$x_{4} = -68.2104814846731$$
$$x_{5} = 63.7364099660982$$
$$x_{6} = -76.3027805804574$$
$$x_{7} = -26.0372981230207$$
$$x_{8} = 55.6441108703139$$
$$x_{9} = 70.0195952732778$$
$$x_{10} = 36.7945549487751$$
$$x_{11} = -93.3432227133914$$
$$x_{12} = -38.6036687373799$$
$$x_{13} = 13.4709275086616$$
$$x_{14} = -51.1700393517391$$
$$x_{15} = -88.8691511948166$$
$$x_{16} = -70.0195952732778$$
$$x_{17} = -13.4709275086616$$
$$x_{18} = -17.9449990272364$$
$$x_{19} = -1004.40509225443$$
$$x_{20} = 51.1700393517391$$
$$x_{21} = -19.7541128158411$$
$$x_{22} = -24.228184334416$$
$$x_{23} = -32.3204834302003$$
$$x_{24} = -80.7768520990322$$
$$x_{25} = 26.0372981230207$$
$$x_{26} = -49.3609255631343$$
$$x_{27} = 87.0600374062118$$
$$x_{28} = -82.585965887637$$
$$x_{29} = 187.591002321085$$
$$x_{30} = -44.8868540445595$$
$$x_{31} = 2141.66163285394$$
$$x_{32} = -95.1523365019962$$
$$x_{33} = 32.3204834302003$$
$$x_{34} = 80.7768520990322$$
$$x_{35} = 43.0777402559547$$
$$x_{36} = 88.8691511948166$$
$$x_{37} = -57.4532246589187$$
$$x_{38} = -63.7364099660982$$
$$x_{39} = -36.7945549487751$$
$$x_{40} = 24.228184334416$$
$$x_{41} = 74.4936667918527$$
$$x_{42} = 11.6618137200568$$
$$x_{43} = 95.1523365019962$$
$$x_{44} = 99.626408020571$$
$$x_{45} = 19.7541128158411$$
$$x_{46} = -139.134633652253$$
$$x_{47} = 101.435521809176$$
$$x_{48} = -0.904556894302381$$
$$x_{49} = -7.18774220148197$$
$$x_{50} = -74.4936667918527$$
$$x_{51} = 61.9272961774935$$
$$x_{52} = -200.157372935444$$
$$x_{53} = 5.37862841287721$$
$$x_{54} = -99.626408020571$$
$$x_{55} = 38.6036687373799$$
$$x_{56} = 76.3027805804574$$
$$x_{57} = 68.2104814846731$$
$$x_{58} = 49.3609255631343$$
$$x_{59} = 44.8868540445595$$
$$x_{60} = -61.9272961774935$$
$$x_{61} = 30.5113696415956$$
$$x_{62} = 57.4532246589187$$
$$x_{63} = -5.37862841287721$$
$$x_{64} = -30.5113696415956$$
$$x_{65} = 17.9449990272364$$
$$x_{66} = -55.6441108703139$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 7.18774220148197$$
$$x_{2} = -11.6618137200568$$
$$x_{3} = 82.585965887637$$
$$x_{4} = -68.2104814846731$$
$$x_{5} = 63.7364099660982$$
$$x_{6} = -76.3027805804574$$
$$x_{7} = -26.0372981230207$$
$$x_{8} = 55.6441108703139$$
$$x_{9} = 70.0195952732778$$
$$x_{10} = 36.7945549487751$$
$$x_{11} = -93.3432227133914$$
$$x_{12} = -38.6036687373799$$
$$x_{13} = 13.4709275086616$$
$$x_{14} = -51.1700393517391$$
$$x_{15} = -88.8691511948166$$
$$x_{16} = -70.0195952732778$$
$$x_{17} = -13.4709275086616$$
$$x_{18} = -17.9449990272364$$
$$x_{19} = -1004.40509225443$$
$$x_{20} = 51.1700393517391$$
$$x_{21} = -19.7541128158411$$
$$x_{22} = -24.228184334416$$
$$x_{23} = -32.3204834302003$$
$$x_{24} = -80.7768520990322$$
$$x_{25} = 26.0372981230207$$
$$x_{26} = -49.3609255631343$$
$$x_{27} = 87.0600374062118$$
$$x_{28} = -82.585965887637$$
$$x_{29} = 187.591002321085$$
$$x_{30} = -44.8868540445595$$
$$x_{31} = 2141.66163285394$$
$$x_{32} = -95.1523365019962$$
$$x_{33} = 32.3204834302003$$
$$x_{34} = 80.7768520990322$$
$$x_{35} = 43.0777402559547$$
$$x_{36} = 88.8691511948166$$
$$x_{37} = -57.4532246589187$$
$$x_{38} = -63.7364099660982$$
$$x_{39} = -36.7945549487751$$
$$x_{40} = 24.228184334416$$
$$x_{41} = 74.4936667918527$$
$$x_{42} = 11.6618137200568$$
$$x_{43} = 95.1523365019962$$
$$x_{44} = 99.626408020571$$
$$x_{45} = 19.7541128158411$$
$$x_{46} = -139.134633652253$$
$$x_{47} = 101.435521809176$$
$$x_{48} = -0.904556894302381$$
$$x_{49} = -7.18774220148197$$
$$x_{50} = -74.4936667918527$$
$$x_{51} = 61.9272961774935$$
$$x_{52} = -200.157372935444$$
$$x_{53} = 5.37862841287721$$
$$x_{54} = -99.626408020571$$
$$x_{55} = 38.6036687373799$$
$$x_{56} = 76.3027805804574$$
$$x_{57} = 68.2104814846731$$
$$x_{58} = 49.3609255631343$$
$$x_{59} = 44.8868540445595$$
$$x_{60} = -61.9272961774935$$
$$x_{61} = 30.5113696415956$$
$$x_{62} = 57.4532246589187$$
$$x_{63} = -5.37862841287721$$
$$x_{64} = -30.5113696415956$$
$$x_{65} = 17.9449990272364$$
$$x_{66} = -55.6441108703139$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)
-2*pi (-----, 5/4) 3
2*pi (----, 5/4) 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par