Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(x)^(2)+cos(x)

Gráfico de la función y = sin(x)^(2)+cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2            
f(x) = sin (x) + cos(x)
f(x)=sin⁡2(x)+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x)^2 + cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(x)+cos⁡(x)=0\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2atan⁡(2+5)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}
x2=2atan⁡(2+5)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}
Solución numérica
x1=48.0284466981493x_{1} = 48.0284466981493
x2=−79.4443732340472x_{2} = -79.4443732340472
x3=−77.6352594454424x_{3} = -77.6352594454424
x4=−58.7857035239037x_{4} = -58.7857035239037
x5=27.3697769880058x_{5} = 27.3697769880058
x6=10.3293348550718x_{6} = 10.3293348550718
x7=−60.5948173125085x_{7} = -60.5948173125085
x8=−35.4620760837901x_{8} = -35.4620760837901
x9=52.5025182167241x_{9} = 52.5025182167241
x10=−33.6529622951853x_{10} = -33.6529622951853
x11=35.4620760837901x_{11} = 35.4620760837901
x12=−4.04614954789217x_{12} = -4.04614954789217
x13=−46.2193329095445x_{13} = -46.2193329095445
x14=29.1788907766105x_{14} = 29.1788907766105
x15=2.23703575928741x_{15} = 2.23703575928741
x16=−41.7452613909697x_{16} = -41.7452613909697
x17=−2.23703575928741x_{17} = -2.23703575928741
x18=66.878002619688x_{18} = 66.878002619688
x19=4.04614954789217x_{19} = 4.04614954789217
x20=−83.918444752622x_{20} = -83.918444752622
x21=96.4848153669812x_{21} = 96.4848153669812
x22=85.7275585412268x_{22} = 85.7275585412268
x23=77.6352594454424x_{23} = 77.6352594454424
x24=71.3520741382629x_{24} = 71.3520741382629
x25=65.0688888310833x_{25} = 65.0688888310833
x26=83.918444752622x_{26} = 83.918444752622
x27=41.7452613909697x_{27} = 41.7452613909697
x28=−102.768000674161x_{28} = -102.768000674161
x29=−27.3697769880058x_{29} = -27.3697769880058
x30=8.520221066467x_{30} = 8.520221066467
x31=92.0107438484064x_{31} = 92.0107438484064
x32=−14.8034063736466x_{32} = -14.8034063736466
x33=−71.3520741382629x_{33} = -71.3520741382629
x34=79.4443732340472x_{34} = 79.4443732340472
x35=−8.520221066467x_{35} = -8.520221066467
x36=−52.5025182167241x_{36} = -52.5025182167241
x37=−73.1611879268676x_{37} = -73.1611879268676
x38=−16.6125201622513x_{38} = -16.6125201622513
x39=14.8034063736466x_{39} = 14.8034063736466
x40=98.293929155586x_{40} = 98.293929155586
x41=−29.1788907766105x_{41} = -29.1788907766105
x42=39.9361476023649x_{42} = 39.9361476023649
x43=73.1611879268676x_{43} = 73.1611879268676
x44=46.2193329095445x_{44} = 46.2193329095445
x45=−22.8957054694309x_{45} = -22.8957054694309
x46=−96.4848153669812x_{46} = -96.4848153669812
x47=−98.293929155586x_{47} = -98.293929155586
x48=−66.878002619688x_{48} = -66.878002619688
x49=58.7857035239037x_{49} = 58.7857035239037
x50=90.2016300598016x_{50} = 90.2016300598016
x51=33.6529622951853x_{51} = 33.6529622951853
x52=−85.7275585412268x_{52} = -85.7275585412268
x53=21.0865916808262x_{53} = 21.0865916808262
x54=102.768000674161x_{54} = 102.768000674161
x55=−10.3293348550718x_{55} = -10.3293348550718
x56=16.6125201622513x_{56} = 16.6125201622513
x57=−92.0107438484064x_{57} = -92.0107438484064
x58=−442.060007261858x_{58} = -442.060007261858
x59=−48.0284466981493x_{59} = -48.0284466981493
x60=54.3116320053289x_{60} = 54.3116320053289
x61=−39.9361476023649x_{61} = -39.9361476023649
x62=22.8957054694309x_{62} = 22.8957054694309
x63=−54.3116320053289x_{63} = -54.3116320053289
x64=−90.2016300598016x_{64} = -90.2016300598016
x65=60.5948173125085x_{65} = 60.5948173125085
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^2 + cos(x).
sin⁡2(0)+cos⁡(0)\sin^{2}{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π3x_{2} = - \frac{\pi}{3}
x3=π3x_{3} = \frac{\pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 -pi       
(----, 5/4)
  3        

 pi      
(--, 5/4)
 3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π3]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π3,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡2(x)+2cos⁡2(x)−cos⁡(x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(36−333)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x2=2atan⁡(36−333)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x3=−2atan⁡(333+63)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}
x4=2atan⁡(333+63)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(333+63),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(36−333)]∪[2atan⁡(36−333),2atan⁡(333+63)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)+cos⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)+cos⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 + cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(x)+cos⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡(x)\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- Sí
sin⁡2(x)+cos⁡(x)=−sin⁡2(x)−cos⁡(x)\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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