Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
(2*x-1)*e^(2*(1-x))
-
(2-x^2)/(9x^2-4)^1/2
-
Expresiones idénticas
- sin(x)^(dos)+cos(x)
- seno de (x) en el grado (2) más coseno de (x)
- seno de (x) en el grado (dos) más coseno de (x)
- sin(x)(2)+cos(x)
- sinx2+cosx
- sinx^2+cosx
-
Expresiones semejantes
- sin(x)^(2)-cos(x)
- sinx^(2)+cosx
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin^2(t/2)
- sin(2)^(2)*x*cos(x)/2
- sin(x)^2+9cos(x)^2+6sin(x)cos(x)
- sin(10*x)*sin(3*x)/x^2
- sin(x)-0.2*x-0.5
Gráfico de la función y = sin(x)^(2)+cos(x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = sin (x) + cos(x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^2 + cos(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 48.0284466981493$$
$$x_{2} = -79.4443732340472$$
$$x_{3} = -77.6352594454424$$
$$x_{4} = -58.7857035239037$$
$$x_{5} = 27.3697769880058$$
$$x_{6} = 10.3293348550718$$
$$x_{7} = -60.5948173125085$$
$$x_{8} = -35.4620760837901$$
$$x_{9} = 52.5025182167241$$
$$x_{10} = -33.6529622951853$$
$$x_{11} = 35.4620760837901$$
$$x_{12} = -4.04614954789217$$
$$x_{13} = -46.2193329095445$$
$$x_{14} = 29.1788907766105$$
$$x_{15} = 2.23703575928741$$
$$x_{16} = -41.7452613909697$$
$$x_{17} = -2.23703575928741$$
$$x_{18} = 66.878002619688$$
$$x_{19} = 4.04614954789217$$
$$x_{20} = -83.918444752622$$
$$x_{21} = 96.4848153669812$$
$$x_{22} = 85.7275585412268$$
$$x_{23} = 77.6352594454424$$
$$x_{24} = 71.3520741382629$$
$$x_{25} = 65.0688888310833$$
$$x_{26} = 83.918444752622$$
$$x_{27} = 41.7452613909697$$
$$x_{28} = -102.768000674161$$
$$x_{29} = -27.3697769880058$$
$$x_{30} = 8.520221066467$$
$$x_{31} = 92.0107438484064$$
$$x_{32} = -14.8034063736466$$
$$x_{33} = -71.3520741382629$$
$$x_{34} = 79.4443732340472$$
$$x_{35} = -8.520221066467$$
$$x_{36} = -52.5025182167241$$
$$x_{37} = -73.1611879268676$$
$$x_{38} = -16.6125201622513$$
$$x_{39} = 14.8034063736466$$
$$x_{40} = 98.293929155586$$
$$x_{41} = -29.1788907766105$$
$$x_{42} = 39.9361476023649$$
$$x_{43} = 73.1611879268676$$
$$x_{44} = 46.2193329095445$$
$$x_{45} = -22.8957054694309$$
$$x_{46} = -96.4848153669812$$
$$x_{47} = -98.293929155586$$
$$x_{48} = -66.878002619688$$
$$x_{49} = 58.7857035239037$$
$$x_{50} = 90.2016300598016$$
$$x_{51} = 33.6529622951853$$
$$x_{52} = -85.7275585412268$$
$$x_{53} = 21.0865916808262$$
$$x_{54} = 102.768000674161$$
$$x_{55} = -10.3293348550718$$
$$x_{56} = 16.6125201622513$$
$$x_{57} = -92.0107438484064$$
$$x_{58} = -442.060007261858$$
$$x_{59} = -48.0284466981493$$
$$x_{60} = 54.3116320053289$$
$$x_{61} = -39.9361476023649$$
$$x_{62} = 22.8957054694309$$
$$x_{63} = -54.3116320053289$$
$$x_{64} = -90.2016300598016$$
$$x_{65} = 60.5948173125085$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 48.0284466981493$$
$$x_{2} = -79.4443732340472$$
$$x_{3} = -77.6352594454424$$
$$x_{4} = -58.7857035239037$$
$$x_{5} = 27.3697769880058$$
$$x_{6} = 10.3293348550718$$
$$x_{7} = -60.5948173125085$$
$$x_{8} = -35.4620760837901$$
$$x_{9} = 52.5025182167241$$
$$x_{10} = -33.6529622951853$$
$$x_{11} = 35.4620760837901$$
$$x_{12} = -4.04614954789217$$
$$x_{13} = -46.2193329095445$$
$$x_{14} = 29.1788907766105$$
$$x_{15} = 2.23703575928741$$
$$x_{16} = -41.7452613909697$$
$$x_{17} = -2.23703575928741$$
$$x_{18} = 66.878002619688$$
$$x_{19} = 4.04614954789217$$
$$x_{20} = -83.918444752622$$
$$x_{21} = 96.4848153669812$$
$$x_{22} = 85.7275585412268$$
$$x_{23} = 77.6352594454424$$
$$x_{24} = 71.3520741382629$$
$$x_{25} = 65.0688888310833$$
$$x_{26} = 83.918444752622$$
$$x_{27} = 41.7452613909697$$
$$x_{28} = -102.768000674161$$
$$x_{29} = -27.3697769880058$$
$$x_{30} = 8.520221066467$$
$$x_{31} = 92.0107438484064$$
$$x_{32} = -14.8034063736466$$
$$x_{33} = -71.3520741382629$$
$$x_{34} = 79.4443732340472$$
$$x_{35} = -8.520221066467$$
$$x_{36} = -52.5025182167241$$
$$x_{37} = -73.1611879268676$$
$$x_{38} = -16.6125201622513$$
$$x_{39} = 14.8034063736466$$
$$x_{40} = 98.293929155586$$
$$x_{41} = -29.1788907766105$$
$$x_{42} = 39.9361476023649$$
$$x_{43} = 73.1611879268676$$
$$x_{44} = 46.2193329095445$$
$$x_{45} = -22.8957054694309$$
$$x_{46} = -96.4848153669812$$
$$x_{47} = -98.293929155586$$
$$x_{48} = -66.878002619688$$
$$x_{49} = 58.7857035239037$$
$$x_{50} = 90.2016300598016$$
$$x_{51} = 33.6529622951853$$
$$x_{52} = -85.7275585412268$$
$$x_{53} = 21.0865916808262$$
$$x_{54} = 102.768000674161$$
$$x_{55} = -10.3293348550718$$
$$x_{56} = 16.6125201622513$$
$$x_{57} = -92.0107438484064$$
$$x_{58} = -442.060007261858$$
$$x_{59} = -48.0284466981493$$
$$x_{60} = 54.3116320053289$$
$$x_{61} = -39.9361476023649$$
$$x_{62} = 22.8957054694309$$
$$x_{63} = -54.3116320053289$$
$$x_{64} = -90.2016300598016$$
$$x_{65} = 60.5948173125085$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
-pi (----, 5/4) 3
pi (--, 5/4) 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 + cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par