Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(cos(x)*sin(x))

Gráfico de la función y = 1/(cos(x)*sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             1      
f(x) = -------------
       cos(x)*sin(x)
f(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} 
f = 1/(sin(x)*cos(x))
Gráfico de la función
-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.0-10000050000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.5707963267949x_{2} = 1.5707963267949
x3=3.14159265358979x_{3} = 3.14159265358979
x4=4.71238898038469x_{4} = 4.71238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1sin⁡(x)cos⁡(x)=0\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(cos(x)*sin(x)).
1sin⁡(0)cos⁡(0)\frac{1}{\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1sin⁡(x)cos⁡(x)(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡(x)=0\frac{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -2)
  4       

 pi    
(--, 2)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.5707963267949x_{2} = 1.5707963267949
x3=3.14159265358979x_{3} = 3.14159265358979
x4=4.71238898038469x_{4} = 4.71238898038469
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞1sin⁡(x)cos⁡(x)y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞1sin⁡(x)cos⁡(x)y = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(cos(x)*sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(1sin⁡(x)1cos⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1sin⁡(x)1cos⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1sin⁡(x)cos⁡(x)=−1sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}
- No
1sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} = \frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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