Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -cos(x)-2*sin(x)

Gráfico de la función y = -cos(x)-2*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -cos(x) - 2*sin(x)
f(x)=−2sin⁡(x)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} 
f = -2*sin(x) - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2sin⁡(x)−cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(12)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Solución numérica
x1=56.0850201556155x_{1} = 56.0850201556155
x2=−19.3132035305396x_{2} = -19.3132035305396
x3=65.5097981163849x_{3} = 65.5097981163849
x4=15.2443156589482x_{4} = 15.2443156589482
x5=78.076168730744x_{5} = 78.076168730744
x6=835.199998245884x_{6} = 835.199998245884
x7=93.784131998693x_{7} = 93.784131998693
x8=−88.428241909515x_{8} = -88.428241909515
x9=−141.835317020542x_{9} = -141.835317020542
x10=−66.4370933343865x_{10} = -66.4370933343865
x11=81.2177613843338x_{11} = 81.2177613843338
x12=−100.994612523874x_{12} = -100.994612523874
x13=59.2266128092053x_{13} = 59.2266128092053
x14=−69.5786859879763x_{14} = -69.5786859879763
x15=−25.5963888377192x_{15} = -25.5963888377192
x16=27.8106862733073x_{16} = 27.8106862733073
x17=−53.8707227200273x_{17} = -53.8707227200273
x18=68.6513907699746x_{18} = 68.6513907699746
x19=−75.8618712951559x_{19} = -75.8618712951559
x20=−60.1539080272069x_{20} = -60.1539080272069
x21=−35.0211667984885x_{21} = -35.0211667984885
x22=37.2354642340767x_{22} = 37.2354642340767
x23=−0.463647609000806x_{23} = -0.463647609000806
x24=8.96113035176857x_{24} = 8.96113035176857
x25=34.0938715804869x_{25} = 34.0938715804869
x26=−57.0123153736171x_{26} = -57.0123153736171
x27=46.6602421948461x_{27} = 46.6602421948461
x28=−16.1716108769498x_{28} = -16.1716108769498
x29=2.67794504458899x_{29} = 2.67794504458899
x30=−22.4547961841294x_{30} = -22.4547961841294
x31=−31.8795741448987x_{31} = -31.8795741448987
x32=96.9257246522828x_{32} = 96.9257246522828
x33=30.9522789268971x_{33} = 30.9522789268971
x34=−82.1450566023354x_{34} = -82.1450566023354
x35=49.8018348484359x_{35} = 49.8018348484359
x36=21.5275009661277x_{36} = 21.5275009661277
x37=−28.7379814913089x_{37} = -28.7379814913089
x38=−38.1627594520783x_{38} = -38.1627594520783
x39=−79.0034639487456x_{39} = -79.0034639487456
x40=−50.7291300664375x_{40} = -50.7291300664375
x41=12.1027230053584x_{41} = 12.1027230053584
x42=−85.2866492559252x_{42} = -85.2866492559252
x43=191.173504259977x_{43} = 191.173504259977
x44=−63.2955006807967x_{44} = -63.2955006807967
x45=−13.03001822336x_{45} = -13.03001822336
x46=−44.4459447592579x_{46} = -44.4459447592579
x47=−72.7202786415661x_{47} = -72.7202786415661
x48=40.3770568876665x_{48} = 40.3770568876665
x49=−97.8530198702844x_{49} = -97.8530198702844
x50=84.3593540379236x_{50} = 84.3593540379236
x51=−91.5698345631048x_{51} = -91.5698345631048
x52=−286.348579085672x_{52} = -286.348579085672
x53=43.5186495412563x_{53} = 43.5186495412563
x54=−9.88842556977019x_{54} = -9.88842556977019
x55=5.81953769817878x_{55} = 5.81953769817878
x56=18.385908312538x_{56} = 18.385908312538
x57=24.6690936197175x_{57} = 24.6690936197175
x58=−47.5875374128477x_{58} = -47.5875374128477
x59=62.3682054627951x_{59} = 62.3682054627951
x60=90.6425393451032x_{60} = 90.6425393451032
x61=71.7929834235644x_{61} = 71.7929834235644
x62=74.9345760771542x_{62} = 74.9345760771542
x63=−6.74683291618039x_{63} = -6.74683291618039
x64=−41.3043521056681x_{64} = -41.3043521056681
x65=87.5009466915134x_{65} = 87.5009466915134
x66=52.9434275020257x_{66} = 52.9434275020257
x67=−94.7114272166946x_{67} = -94.7114272166946
x68=100.067317305873x_{68} = 100.067317305873
x69=−3.6052402625906x_{69} = -3.6052402625906
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -cos(x) - 2*sin(x).
−cos⁡(0)−2sin⁡(0)- \cos{\left(0 \right)} - 2 \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)−2cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(2)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
             ___ 
(atan(2), -\/ 5 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=atan⁡(2)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[atan⁡(2),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,atan⁡(2)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡(x)+cos⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(12)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−atan⁡(12),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−atan⁡(12)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(−2sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -cos(x) - 2*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2sin⁡(x)−cos⁡(x)=2sin⁡(x)−cos⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
−2sin⁡(x)−cos⁡(x)=−2sin⁡(x)+cos⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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