Sr Examen

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-cos(x)+2*sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ -cos(x)+2*sin(x)

Gráfico de la función y = -cos(x)+2*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -cos(x) + 2*sin(x)
f(x)=2sin⁡(x)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} 
f = 2*sin(x) - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x)−cos⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=atan⁡(12)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Solución numérica
x1=−15.2443156589482x_{1} = -15.2443156589482
x2=−65.5097981163849x_{2} = -65.5097981163849
x3=−43.5186495412563x_{3} = -43.5186495412563
x4=3.6052402625906x_{4} = 3.6052402625906
x5=−18.385908312538x_{5} = -18.385908312538
x6=63.2955006807967x_{6} = 63.2955006807967
x7=−2.67794504458899x_{7} = -2.67794504458899
x8=94.7114272166946x_{8} = 94.7114272166946
x9=13.03001822336x_{9} = 13.03001822336
x10=22.4547961841294x_{10} = 22.4547961841294
x11=85.2866492559252x_{11} = 85.2866492559252
x12=368.029988079007x_{12} = 368.029988079007
x13=−5.81953769817878x_{13} = -5.81953769817878
x14=−37.2354642340767x_{14} = -37.2354642340767
x15=88.428241909515x_{15} = 88.428241909515
x16=−46.6602421948461x_{16} = -46.6602421948461
x17=41.3043521056681x_{17} = 41.3043521056681
x18=47.5875374128477x_{18} = 47.5875374128477
x19=72.7202786415661x_{19} = 72.7202786415661
x20=−52.9434275020257x_{20} = -52.9434275020257
x21=−78.076168730744x_{21} = -78.076168730744
x22=53.8707227200273x_{22} = 53.8707227200273
x23=−27.8106862733073x_{23} = -27.8106862733073
x24=−90.6425393451032x_{24} = -90.6425393451032
x25=−34.0938715804869x_{25} = -34.0938715804869
x26=60.1539080272069x_{26} = 60.1539080272069
x27=−93.784131998693x_{27} = -93.784131998693
x28=4785.10925902626x_{28} = 4785.10925902626
x29=57.0123153736171x_{29} = 57.0123153736171
x30=−87.5009466915134x_{30} = -87.5009466915134
x31=16.1716108769498x_{31} = 16.1716108769498
x32=35.0211667984885x_{32} = 35.0211667984885
x33=79.0034639487456x_{33} = 79.0034639487456
x34=−62.3682054627951x_{34} = -62.3682054627951
x35=25.5963888377192x_{35} = 25.5963888377192
x36=−71.7929834235644x_{36} = -71.7929834235644
x37=91.5698345631048x_{37} = 91.5698345631048
x38=97.8530198702844x_{38} = 97.8530198702844
x39=−56.0850201556155x_{39} = -56.0850201556155
x40=−49.8018348484359x_{40} = -49.8018348484359
x41=−12.1027230053584x_{41} = -12.1027230053584
x42=28.7379814913089x_{42} = 28.7379814913089
x43=−84.3593540379236x_{43} = -84.3593540379236
x44=−40.3770568876665x_{44} = -40.3770568876665
x45=−81.2177613843338x_{45} = -81.2177613843338
x46=−96.9257246522828x_{46} = -96.9257246522828
x47=50.7291300664375x_{47} = 50.7291300664375
x48=−74.9345760771542x_{48} = -74.9345760771542
x49=−238.297394063823x_{49} = -238.297394063823
x50=66.4370933343865x_{50} = 66.4370933343865
x51=82.1450566023354x_{51} = 82.1450566023354
x52=−68.6513907699746x_{52} = -68.6513907699746
x53=6.74683291618039x_{53} = 6.74683291618039
x54=−24.6690936197175x_{54} = -24.6690936197175
x55=9.88842556977019x_{55} = 9.88842556977019
x56=−100.067317305873x_{56} = -100.067317305873
x57=−1271.88137709487x_{57} = -1271.88137709487
x58=38.1627594520783x_{58} = 38.1627594520783
x59=−21.5275009661277x_{59} = -21.5275009661277
x60=−59.2266128092053x_{60} = -59.2266128092053
x61=100.994612523874x_{61} = 100.994612523874
x62=44.4459447592579x_{62} = 44.4459447592579
x63=69.5786859879763x_{63} = 69.5786859879763
x64=−8.96113035176857x_{64} = -8.96113035176857
x65=0.463647609000806x_{65} = 0.463647609000806
x66=31.8795741448987x_{66} = 31.8795741448987
x67=−30.9522789268971x_{67} = -30.9522789268971
x68=19.3132035305396x_{68} = 19.3132035305396
x69=75.8618712951559x_{69} = 75.8618712951559
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -cos(x) + 2*sin(x).
−cos⁡(0)+2sin⁡(0)- \cos{\left(0 \right)} + 2 \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)+2cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(2)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
              ___ 
(-atan(2), -\/ 5 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−atan⁡(2)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−atan⁡(2),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(2)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(12)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,atan⁡(12)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[atan⁡(12),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -cos(x) + 2*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x)−cos⁡(x)=−2sin⁡(x)−cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
2sin⁡(x)−cos⁡(x)=2sin⁡(x)+cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -cos(x)+2*sin(x)
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