Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ xx+sin(4x)+ln(cos(x))

Gráfico de la función y = xx+sin(4x)+ln(cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*x + sin(4*x) + log(cos(x))
f(x)=(xx+sin⁡(4x))+log⁡(cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \left(x x + \sin{\left(4 x \right)}\right) + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} 
f = x*x + sin(4*x) + log(cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(xx+sin⁡(4x))+log⁡(cos⁡(x))=0\left(x x + \sin{\left(4 x \right)}\right) + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.865707694728049x_{1} = 0.865707694728049
x2=−0.725743739320157x_{2} = -0.725743739320157
x3=−1.4915637038836x_{3} = -1.4915637038836
x4=0x_{4} = 0
x5=−1.49156370388361x_{5} = -1.49156370388361
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*x + sin(4*x) + log(cos(x)).
(0⋅0+sin⁡(0⋅4))+log⁡(cos⁡(0))\left(0 \cdot 0 + \sin{\left(0 \cdot 4 \right)}\right) + \log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−sin⁡(x)cos⁡(x)+4cos⁡(4x)=02 x - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 4 \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.417186388742718x_{1} = 0.417186388742718
x2=1.18333223690748x_{2} = 1.18333223690748
x3=1.40443425399726x_{3} = 1.40443425399726
x4=−0.370628510290312x_{4} = -0.370628510290312
x5=−7.76919638809474x_{5} = -7.76919638809474
x6=−1.17530550405693x_{6} = -1.17530550405693
x7=4.63612893944847x_{7} = 4.63612893944847
x8=14.1061030548302x_{8} = 14.1061030548302
Signos de extremos en los puntos:
(0.41718638874271835, 1.07958104157676)

(1.1833322369074801, -0.572785514492627)

(1.4044342539972638, -0.44318195539496)

(-0.37062851029031213, -0.929055456694396)

(-7.769196388094737, 58.2242575287309)

(-1.1753055040569274, 1.4274468672895)

(4.636128939448469, 18.6187844167989 + pi*I)

(14.106103054830193, 195.38633716215)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1.18333223690748x_{1} = 1.18333223690748
x2=−0.370628510290312x_{2} = -0.370628510290312
Puntos máximos de la función:
x2=0.417186388742718x_{2} = 0.417186388742718
x2=1.40443425399726x_{2} = 1.40443425399726
x2=−7.76919638809474x_{2} = -7.76919638809474
x2=−1.17530550405693x_{2} = -1.17530550405693
x2=14.1061030548302x_{2} = 14.1061030548302
Decrece en los intervalos
[1.18333223690748,∞)\left[1.18333223690748, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.370628510290312]\left(-\infty, -0.370628510290312\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡2(x)cos⁡2(x)−16sin⁡(4x)+1=0- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 16 \sin{\left(4 x \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3π4,∞)\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3π4]\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((xx+sin⁡(4x))+log⁡(cos⁡(x)))=log⁡(⟨−1,1⟩)+∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x x + \sin{\left(4 x \right)}\right) + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + \infty
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)+∞y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + \infty
lim⁡x→∞((xx+sin⁡(4x))+log⁡(cos⁡(x)))=log⁡(⟨−1,1⟩)+∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x x + \sin{\left(4 x \right)}\right) + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + \infty
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)+∞y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + \infty
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*x + sin(4*x) + log(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((xx+sin⁡(4x))+log⁡(cos⁡(x))x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x x + \sin{\left(4 x \right)}\right) + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((xx+sin⁡(4x))+log⁡(cos⁡(x))x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x x + \sin{\left(4 x \right)}\right) + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(xx+sin⁡(4x))+log⁡(cos⁡(x))=x2+log⁡(cos⁡(x))−sin⁡(4x)\left(x x + \sin{\left(4 x \right)}\right) + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = x^{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(4 x \right)}
- No
(xx+sin⁡(4x))+log⁡(cos⁡(x))=−x2−log⁡(cos⁡(x))+sin⁡(4x)\left(x x + \sin{\left(4 x \right)}\right) + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = - x^{2} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(4 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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