Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$2 x - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 4 \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.417186388742718$$
$$x_{2} = 1.18333223690748$$
$$x_{3} = 1.40443425399726$$
$$x_{4} = -0.370628510290312$$
$$x_{5} = -7.76919638809474$$
$$x_{6} = -1.17530550405693$$
$$x_{7} = 4.63612893944847$$
$$x_{8} = 14.1061030548302$$
Signos de extremos en los puntos:
(0.41718638874271835, 1.07958104157676)
(1.1833322369074801, -0.572785514492627)
(1.4044342539972638, -0.44318195539496)
(-0.37062851029031213, -0.929055456694396)
(-7.769196388094737, 58.2242575287309)
(-1.1753055040569274, 1.4274468672895)
(4.636128939448469, 18.6187844167989 + pi*I)
(14.106103054830193, 195.38633716215)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1.18333223690748$$
$$x_{2} = -0.370628510290312$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0.417186388742718$$
$$x_{2} = 1.40443425399726$$
$$x_{2} = -7.76919638809474$$
$$x_{2} = -1.17530550405693$$
$$x_{2} = 14.1061030548302$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1.18333223690748, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.370628510290312\right]$$